А как вам такое решениеце? Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных (и подобных между собой, конечно) Поскольку в этих треугольниках оба катета исходного треугольника играют роль гипотенузы, площади этих треугольников отностятся как квадраты катетов (в данном случае - соответственных сторон)
S1/S2 = (6/8)^2 = 9/16;
В сумме S1 + S2 = 8*6/2 = 24;
Остюда очень легко найти S1, S2 и их разность :)
Вот один из Пусть S1 = 9x; S2 = 16x, где х - неизвестная величина.
Тогда S1 + S2 = 25x = 24; x = 24/25;
S2 - S1 = (16 - 9)*x = 7*24/25 = 6,72;
Мы знаем, что cos(180-a)=-cosa.
Пусть сторона АВ=х, тогда сторона ВС=22-х (так как сумма сторон АВ+ВС=22, поскольку ПЕРИМЕТР равен 42, а сторона АС=20).
В треугольнике АВС по теореме косинусов имеем:
АВ(квадрат)=АМ(квадрат)+ВМ(квадрат)-2*АМ*ВМ*Cosa. (1)
В треугольнике ВМС по этой же теореме:
ВС^2=МС^2+ВМ^2-2*МС*ВМ*Cos(180°-a) или
ВС^2=МС^2+ВМ^2+2МС*ВМ*Cosa. (2).
Представим в (1) и (2) известные значения и просуммируем оба уравнения.
Тогда получим:
х^2=125-100Cosa + (22-x)^2=125+100Cosa равно
х^2+(22-х)^2=250. Отсюда имеем квадратное уравнение, решая которое находим х.
х^2-22х+117=0.
Х1=11+√(121-117)=13.
Х2=11-2=9.
ответ: боковые стороны треугольника равны 13 и 9.
P.S. Извиняюсь за текст. Планшетом еще не достаточно овладел.