РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°
Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8
ОТВЕТ: АВ=8
ЗАДАЧА 7
ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6
НАЙТИ: АВ
Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12
РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.
МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.
Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°
Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8
Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4
Вписываем в исходный треугольник окружность с центром О, проводим касательные перпендикулярно биссектрисам двух острых углов исходного треугольника (на рисунке ST и UV). Эти касательные отрезают два остроугольных треугольника AST и UVC (т.к равнобедренные треугольники с острым углом противолежащим основанию являются остроугольными). В центральном 5-угольнике все его внутренние углы тупые (кроме, может быть угла B). Соединяем вершины этого 5-угольника с центром О. Полученные пять треугольников остроугольные, потому что проведенные отрезки - биссектрисы углов 5-угольника, а биссектрисы делят любой угол на два острых, причем, если угол был тупой, то его половина больше 45 градусов, т.е. это означает что углы при вершине О, острые.
P.S. Можно доказать, что меньше, чем на 7 остроугольных треугольников разрезать нельзя.
Объяснение:
ЗАДАЧА 6
ДАНО: ∆АВС прямоугольный, <С=90°, <А=60°, АС=4
НАЙТИ: АВ
РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°
Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8
ОТВЕТ: АВ=8
ЗАДАЧА 7
ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6
НАЙТИ: АВ
Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12
ОТВЕТ: АВ=12
ЗАДАЧА 8
ДАНО: ∆ АВС - прямоугольный, <А:<В=2:1, АВ=14, <С=90°
НАЙТИ: АС
РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°. Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и составим уравнение:
2х+х=90
3х=90
х=90÷3=30°
Итак: угол В=30°, тогда угол А=2×30=60°
Так как АС лежит напротив угла 30°, то АС=½АВ=½×14=7
ОТВЕТ: АС=7
ЗАДАЧА 9
ДАНО: ∆АВС прямоугольный: <С=90°, АС=ВС=10, АМ=СМ, МР перпендикулярно АС.
НАЙТИ: МР
РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.
МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.
Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5
ЗАДАЧА 10
ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, <А=30°, ВК - биссектриса <В=8
НАЙТИ: АС
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°
Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8
Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4
Итак: АК=8, СК=4.
Тогда АС=СК+АК=4+8=12
ОТВЕТ: АС=12