1) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Т.к. один из углов равен по условию 30°, то второй угол будет равен
180° - 30° = 150°. Значит, меньшая диагональ лежит против угла в 30°.
Найдем ее по теореме косинусов. Обозначим а и b - стороны параллелограмма, d₁ - меньшую диагональ. тогда получим
d₁² = а² + b² - 2аb · соs30° = 4² + (4√3)² - 2 · 4 · 4√3 · √3/2 = 16 + 16 · 3 - 16 · 3 = 16, откуда d₁ = 4 см.
2) Площадь параллелограмма вычисляют по формуле S = ab · sinγ, где а и b - стороны параллелограмма, γ - угол между ними.
S = 4 · 4√3 · sin30° = 16√3 · 1/2 = 8√3 (см²)
3) Меньшая высота параллелограмма будет проведена к большей стороне.
Площадь параллелограмма можно найти также по формуле S = ah, где а сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне.
S = 8√3 cм², а = 4√3 - большая сторона, тогда h = 8√3 : (4√3) = 2 (см)
ответ: 1) 4 см; 2) 8√3 см²; 3) 2 см.
1) Высота совпадает с медианой. Медиана делит основание пополам (из определения);
2) Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Площадь треугольника S= abc/4R . Поскольку 2 стороны равнобедренного треугольника равны между собой,
для нашего случая можно преобразовать: S=b^2*c/4R (где AB=BC=b, AC= c)
Из 1: AD = 1/2AC = 4
По теореме Пифагора: QD^2 = AQ^2-AD^2 = R^2 - AD^2 , QD = 3
Из 2: BD = BQ+QD= R + QD= 8
По теореме Пифагора: AB^2= BD^2 + AD^2, AB = 4 корня из 5
Отсюда площадь треугольника S = 16*5*8/4*5 = 32