Question

Докажите, что четырёхугольник MNKP с вершинами в точках М (-3; 2), N (-1: 6), К (6; 7), Р (4; 3) является параллелограммом

Answer 1

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, мы должны проверить две вещи: соседние стороны параллельны и соответствующие стороны равны.

1. Проверка параллельности:
Для этого мы построим векторы МN и KP и проверим, равны ли они. Если они равны, то это будет означать, что стороны MN и KP параллельны.

Вектор MN = (x2 - x1, y2 - y1) = (-1 - (-3), 6 - 2) = (2, 4)
Вектор KP = (x4 - x3, y4 - y3) = (4 - 6, 3 - 7) = (-2, -4)

Мы видим, что векторы MN и KP имеют одинаковые компоненты, но с противоположными знаками. Это говорит о том, что векторы MN и KP равны по модулю. Значит, стороны MN и KP параллельны.

2. Проверка равенства соответствующих сторон:
Для этого мы посчитаем длины сторон MN, NK, KP, и PM и убедимся, что они равны.

Длина стороны MN = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((-1 - (-3))^2 + (6 - 2)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
Длина стороны NK = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = sqrt((6 - (-1))^2 + (7 - 6)^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5*sqrt(2)
Длина стороны KP = sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) = sqrt((4 - 6)^2 + (3 - 7)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
Длина стороны PM = sqrt((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2) = sqrt((-3 - 4)^2 + (2 - 3)^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5*sqrt(2)

Мы видим, что длины сторон MN и KP равны между собой, а также длины сторон NK и PM равны между собой. Это означает, что стороны MN и KP равны, а также стороны NK и PM равны.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, так как его стороны параллельны и равны.