В правильной шестиугольной призме АBCDEFFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой С₁F
(Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.)
-----------
Объяснение подробное и поэтому длинное, хотя решение задачи довольно простое.
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного от точки перпендикулярно к этой прямой
Соединим попарно точки C₁ и F, B и C₁, B и F.
Если провести через середины ВС и ЕF прямую, то она - диаметр вписанной в основание окружности. ВF параллельна этому диаметру и перпендикулярна СВ.
СВ, проекция наклонной С₁В, перпендикулярна ВF ⇒
по т. о трех перпендикулярах С₁В ⊥BF ⇒
⊿ ВС₁F прямоугольный с прямым углом C₁BF
Искомое расстояние - высота ВН, проведенная из прямого угла этого треугольника к гипотенузе C₁F
C₁F найдем из ∆ С₁BF- он прямоугольный, т.к. все ребра правильной призмы перпендикулярны основанию.
СF равен длине двух сторон основания, т.е. 2.
СС1=1 по условию.
С₁F=√(2²+1²)=√5
C₁B=√(CC₁²+CB²)=√2
BF можно найти по т.косинусов, можно из прямоугольного ∆АВМ, в котором угол АВМ=30º ( как угол при основании равнобедренного ∆ ВАF, где угол при А=120, а угол МАВ=60º).
ВМ =АВ*sin60º=√3):2
BF=2 BM=√3
S ∆ BC₁F=BC₁•BF:2=(√2•√3):2=(√6):2
ВН ∆ BC₁F=2S:C₁F=(√6):√5 или, если извлечь корни, примерно 1,095 (ед. длины)
На рисунке в приложении это отрезок АМ.
АМ-наклонная, ее проекция перпендикулярна прямой ВК,
МК - параллельна ВВ1 и перпендикулярна ВК.
Все ребра призмы равны 1, а её основание состоит из равносторонних
треугольников.
Треугольник НВВ1 равен треугольнику АКМ по двум катетам.
Для удобства перенесём АМ внутрь призмы в параллельную ей В1Н.
Основания правильной шестиугольной призмы - правильные шестиугольники. АВ=ВО=АО=1.
В1Н=АМ и является гипотенузой прямоугольного треугольника НВВ1.
ВН и ВВ1 - катеты, НВ1 - гипотенуза и равна искомому расстоянию АМ.
ВН- высота равностороннего треугольника со стороной 1.
ВН=АВ*sin(60°)=(√3):2
НВ1=√(ВН²+ ВВ1² =(√7):2
АМ=НВ1=(√7):2