* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона - 25 см, основание 39 см
ответ: 768 см².
Объяснение: Пусть ABCD равнобедренная трапеция
AD и BC основания трапеции ( AD || BC ) AD =39 см ,
ВA = CD =25 см и ∠ BAC = ∠ DAC .
S(ABCD) = h*(AD+BC)/2 -?
--------------------------------------
∠ BCA= ∠ DAC как накрест лежащие углы ( BC || AD , CA секущая) ,
следовательно ∠ BCA= ∠ DAC =∠ BAC , т.е. ΔBAC равнобедренный
BA = BC =25 см получили BA = CD =25 см .
Проведем BB₁ ⊥ AD и CC₁ ⊥ AD . BCC₁B₁ _прямоугольник BB₁ =CC₁
B₁C₁ = BC =25 см ; Δ BB₁A = Δ CC₁D(гипотен. BA= CD и катеты BB₁ =CC₁).
AB₁ =(AD - BC)/2 =(39 - 25)/2 см=7 см .
Из Δ BB₁A по теореме Пифагора:
BB₁ =√(BA² -AB₁² ) =√(25² -7)² =√(625 -49) =√576=24 (см) .
* * * h=√(25²-7)² =√(25 -7)(25 +7) =√(18*32) √(9*2*16*2)=3*2*4=24 * * *
S(ABCD) = h*(AD+BC)/2 =24(39+25)/2 =24*32 = 768 (см²).
В ∆ АВС ∠ВСА=90°, ∠САК=15°
Высота СН=1. Найти АВ.
-----------
СН - высота ∆ ВСА и равна 1 по условию.
Отложим на продолжении ВС отрезок СК=ВС.
Соединим К и А.
СК=СВ, угол КСА=углу ВСА=90° (смежный).
В прямоугольных ∆ АВС и ∆ АКС катеты СК=СВ по построению, АС - общий.
∆ АСВ=∆ АСК по двум катетам =>
АК=АВ,
Треугольник АВК равнобедренный.
Угол КАС=углу САВ, следовательно, угол КАВ=2•15°=30°
Опустим перпедникуляр КМ на АВ
В прямоугольном ∆ ВКМ отрезки КС=ВС по построению. =>
С - середина отрезка ВК.
СН высота и перпендикулярна АВ, отрезок КМ перпендикулярен АВ по построению, поэтому СН║КМ, следовательно, СН- средняя линия ∆ ВКМ.=>
КМ=2СН=2.
∠КАМ=∠САВ+∠САК=30°
В прямоугольном ∆ КАМ катет КМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы ( свойство).
АК=2КМ=4 ед. длины.
Гипотенуза АВ=АК=4 ед. длины - это ответ
Т.к. точка D равноудалена от сторон, то расстояния эти до сторон - ни что иное, как радиусы вписанной в треугольник окружности, центр которой находится в точке пересечения биссектрис, т.е. D -центр вписанной окружности. Ясно, что самая длинная сторона будет лежать против наибольшего угла, т.е. угла 123°
, а тогда, используя, что есть величины углов оставшихся, данный искомый угол можем найти как 180°-40°/2-17°/2=160°-8°30'=151°30'
ответ 151°30'