С-4 егэ найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен 90 град, а расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно d. решение и рисунок
См. рисунок. Треугольник МАВ-равнобедренный, значит АМ=ВМ Треугольник МВС- равнобедренный, значит ВМ=СМ. В итоге АМ=ВМ=СМ Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении2:1 считая от вершины, поэтому все медианы равны между собой. Более того из треугольника МАВ следует, что МК перпендикулярна АВ, значит и СК перпендикуляр к АВ, т.е медиана СК является и высотой. И биссектрисой,что следует из равенства треугольников АСК и СКВ: уголМСВ=углу МСА и по условию ещё и углу МВС Аналогично, МР- перпендикуляр к ВС, АР- медиана и высота. И биссектриса, что следует из равенства треугольников АРС и АРВ. Угол ВАМ=углу САМ и равен углу МВА по условию Треугольники АМТ и ТМС равны по трем сторонам и угол ТАМ=углу ТСМ. Все углы треугольника равны. Треугольник равносторонний. Угол АВС=60⁰
Продолжим медианы ВМ и В₁М₁ на свою длину. МД=ВМ, М₁Д₁=В₁М₁ Получим два четырехугольника.
Из равенства треугольников АМВ и СМД следует равенство сторон АВ и СД и аналогично во втором четырехугольнике. Из равенства треугольников ВМС и АМД следует равенство сторон ВС и ДА. Значит полученные фигуры параллограммы. Угол СДМ равен углу АВМ, угол МВС равен углу МДА. Аналогично и во втором параллелограмме. Рассмотрим треугольники ВСД и В₁С₁Д₁ Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство сторон:ВС=В₁С₁ и СД=С₁Д₁=АВ=А₁В₁ Данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними
По условию, BS ┴SA и BS ┴SC , т.е. BS -перпендикуляр к грани SAC и SD = d.
Следовательно, искомый объем V=1/3*S(ACS)*BS.
В треуг. SAD имеем <SDA =90, <ASD =45, откуда AD=SD=d и S(ACS) = d^2.
Далеe, в треуг.BSD имеем <BSD =90, BD=2d*√3/2=d√3 ,
откуда BS=√(BD^2-SD^2)=√(3d^2-d^2)=d√2.
Окончательно находим V=1/3*d^2*d√2=1/3*d^3√2
ответ V=d^3√2/3
Вложения