Т.к. все медианы треугольника пересекаются в одной точке, то CD проходит через точку O. Медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда BO=8 и AO=6. Т.к. медианы AM и BK пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный, тогда его медиана OD равна половине гипотенузы, которую можно найти по теореме Пифагора, как AB²=BO²+AO² => AB=10. Тогда OD=5. Применив еще раз свойство деления медиан точкой пересечения, получим, что CD=15.
Если диагонали трапеции АВСД перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке Е, то треугольники АЕД и ВЕС подобны друг другу и имеют острые углы в 45°.
АЕ = АД*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9. EC = BC*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3. Диагонали АС и ВД равны друг другу по свойству вписанной трапеции. АС = ВД = 9 + 3 = 12. Они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция. Поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника. R = abc/(4S). Боковую сторону находим по теореме косинусов: СД = √(АС²+АД²-2*АС*АД*cos45°) = √(162+144-216) = √90 = = 9.486833. Площадь треугольника АСД находим по формуле Герона: S √(p(p-a)(p-b)(p-c). Полупериметр р = (а+в+с)/2 = 17.107378. Тогда S = 54. Детали этого треугольника: a b c p 2p S 9.486833 12.727922 12 17.107378 34.21475504 54 x=р-а y=р-в z=р-с x*y*z p*x*y*z 7.620545 4.379456 5.107378 170.45278 2916 cos A = 0.707107 cos B = 0.316228 cos С = 0.447214 Аrad = 0.785398 Brad = 1.249046 Сrad = 1.107149 Аgr = 45 Bgr = 71.565051 Сgr = 63.434949.
Теперь находим радиус: R = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) = 1448.972/216 = = 6.708203932. Это же значение можно представить как R = √45 = 3√5.
Площадь треугольника АСД можно найти проще: S = (1/2)*АД*АС*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54.
Радиус окружности можно определить через корни: R = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.
(см. объяснение)
Объяснение:
Т.к. все медианы треугольника пересекаются в одной точке, то CD проходит через точку O. Медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда BO=8 и AO=6. Т.к. медианы AM и BK пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный, тогда его медиана OD равна половине гипотенузы, которую можно найти по теореме Пифагора, как AB²=BO²+AO² => AB=10. Тогда OD=5. Применив еще раз свойство деления медиан точкой пересечения, получим, что CD=15.
Задача решена!