Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота, т.к. высота - перпендикуляр к прямой ( гипотенузе), а катеты – наклонные из вершины прямого угла.
Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на неё .
В треугольнике на рисунке приложения
Катет Вс=30 см, а ВН=18 - его проекция на гипотенузу.
BC²=АВ•НВ
900=АВ•18
АВ=900:18=50 см
Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на подобные. Из подобия следует отношение:
АН:АС=АС:АВ
АН=50-18=32
32:АС=АС:50 ⇒ АС²=32•50
АС=√1600=40 см
-----------
Если обратить внимание на отношение катета и гипотенузы 3:5 в ∆ ВСН, увидим, что этот треугольник - египетский. Отсюда следует АВ=50 см, (т.к. меньший катет=30). а АС=40 см. Получим длины сторон треугольника, отношение которых 3:4:5.
Трикутник АВС, кут С=90, АВ=13, ВС=12, АС=5, АМ=МВ=АВ/2=13/2=6,5, проводимо перпендикуляр МН на АС, МН паралельна ВС, і згідно теореми Фалеса відсікає на АС рівні відрізки, АН=НС, МН-середня лінія=1/2ВС=12/2=6
2.трапеція АВСД, МН-середня лінія=9, ВС/АД=0,8, ВС=0,8АД, (ВС+АД)/2=МН, (0,8АД+АД)/2=9, 1,8АД=18, АД=10, ВС=0,8*10=8
3.Трапеція АВСД, АВ=СД=10, у трапецію можливо вписати коло за умови - сума бічних сторін=сумі основ, АВ+СД=ВС+АД, 10+10=ВС+АД, МН- середня лінія=(ВС+АД)2=20/2=10
4.трикутник АВС, АВ=ВС=АС, МН-середня лінія=1/2АС, АС=2*МН=2*6=12, периметр=12+12+12=36
5. Біля чотирикутника можливо описати коло за умови-сума протилежних кутів=180, кутА+кутС=3х+1х=4х=180, х=45, кутА=3*45=135, кутС=1*45=45, кутД=180-кутВ=180-100=80