ответ
Пусть угол В=бетта
Так как точка О - центр описанной окружности, угол АОС - центральный, а угол В- вписанный. По свойству вписанного угла AOC=2angleB=2*бетта.
AIC=AOC=2*бетта - как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. (По условию точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности.)
Точка I - центр вписанной окружности. Она лежит в точке пересечения биссектрис. Пусть углы А=альфа и С = гамма
Сумма углов треугольника А+В+С равна альфа+бетта+гамма
Рассмотрим треугольник AIC:
Сумма углов треугольника AIC равна альфа/2 + бетта/2 + гамма/2= 180
получили систему:
{
альфа+бетта+гамма=180
альфа/2+2*бетта+гамма/2=180
} следовательно если мы первое разделим на 2 и вычтем из второго первое, получим, что
3/2*бетта=90
бетта=60
угол В=60
1)Медианы треугольника пересекаются в одной точке вне треугольника - неверно
2)Высота, проведенная из вершины угла к гипотенузе, является средним пропорциональным между катетами прямоугольного треугольника - неверно
3)Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту -верно
Неверное: 1,2
II
1)Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам - Верно
2)Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия - неверно
3)Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше катета - неверно
Верно: 1
III
1)Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины - верно
2)Высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на две равные части - неверно.
3)Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту - верно
Неверно: 2