В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка М середина ребра SA, точка К середина ребра SC.
Найти угол между плоскостями BMK и ABC, если AB=4, SC=6.
Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, и вершина S пирамиды проецируется в точку пересечения O диагоналей квадрата АВСD.
Все ребра правильной пирамиды равны. Т.к. М и К делят противоположные ребра пополам, ВМ=ВК.
Основание МК треугольника МВК- средняя линия треугольника АSC и поэтому делит высоту SO пирамиды пополам. Пусть это будет точка Н.
Необходимо найти величину двугранного угла между плоскостями ВМК и АВС.
(Небольшое отступление: Плоскость, содержащая треугольник МВК, пересекается с плоскостью, содержащей ∆ АВС, по ребру mk. АС и mk параллельны, ВО⊥АС и mk. НВ⊥mk по т. о трех перпендикулярах.
Величина двугранного угла равна его линейному углу. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, исходящие из одной точки ребра двугранного угла и перпендикулярные ему).
–––––––––––
Искомый угол - линейный угол НВО двугранного угла между плоскостью МВК и АВС.
ВО- половина диагонали ВD
BD как диагональ квадрата равна а√2=4√2
ВО=2√2
Из ⊿ SOB по т.Пифагора
SO=√(SB² -BO²) =√(36-8)=√28=2√7
НО=SO:2=√7
tg ∠НВО=НО:ВО=(√7):2√2=(√14):4
tg ∠НВО= ≈0,9354. Это тангенс угла ≈ 43º5'
В данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) РАВНЫ. Проведем эти высоты AL и CK. Расстояния от точки d на основании АС - это отрезки dm и dn, параллельные высотам CK и AL соответственно. Прямоугольные треугольники АКС и ALC равны, так как АС - общая гипотенуза, катеты КС и AL - равны и равны углы LAC и КСА (так как AL и КС биссектрисы). Итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники Adm и AKC, Cdn и CAL. Из их подобия имеем следующие отношения:
1)КС/dm=AC/Ad; 2)KC/dm=AC/dC. dm = 12-dn (дано) а Ad = АС-dC. Подставляем и имеем:
из 1): KC/12-dn = AC/AC-dC отсюда KC*(AC-dC) = AC*(12-dn) далее KC*AC - KC*dC = 12AC - AC*dn. Из 2): КС*dС = AC*dn. Из второго вставляем в первое и получаем:
КС*АС - АС*dn = 12АС - АС*dn или КС*АС = 12АС. И окончательно КС = 12, что и надо было найти.