Жирным шрифтом обозначены вектора, скалярные величины обозначены обычными шрифтом.
Пусть есть три некомпланарных вектора a b c, являющиеся "боковыми" ребрами тетраэдра из условия задачи (в том смысле, что все три имеют общее начало в вершине).
Попарные векторные произведения этих векторов дают векторы, перпендикулярные граням. Поскольку все грани равны, то эти векторные произведения имеют одинаковую абсолютную величину - удвоенную площадь грани. Приняв эту удвоенную площадь грани за единицу измерения площади (это никак не ограничивает общность), можно считать нормальные вектора cxb = n₁; bxa = n₂; axc = n₃; единичными векторами.
Я выбрал порядок в произведениях векторов так, чтобы они "торчали" наружу пирамиды. Уже сейчас стоит обратить внимание, что в этом случае двугранные углы при ребрах составляют 180° в сумме с углами между так выбранными нормалями. Поэтому косинусы углов будут равны по величине, но противоположного знака.
Осталась еще четвертая грань. её ребрам соответствуют вектора a₁ = b - c; b₁ = c - a ; c₁ = a - b; причем длины векторов a₁ = a; b₁ = b; c₁ = c; так как четвертая грань равна трем "боковым". Если теперь построить нормальный вектор аналогично трем предыдущим (то есть так, чтобы он смотрел наружу тетраэдра), то
n₄ = - (с - a)x(b - c) = - bxa - cxb - axc = -(n₁ + n₂ + n₃);
или n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 0; (что само по себе - абсолютно замечательный результат).
пусть Σ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₁n₄ + n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄; сумма всех скалярных произведений между нормалями. Для того, чтобы доказать утверждение в задаче, нужно показать, что Σ = - 2; (каждое из произведений равно "минус косинус" угла при ребре между парами граней, заданных нормалями; я напомню, что все нормальные вектора - единичные, то есть равны 1 по модулю)
Я слегка переписываю это выражение Σ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ + (n₁ + n₂ + n₃)n₄ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ - n₄n₄ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ - 1;
Однако все грани тетраэдра равноценны, и аналогично можно записать
Σ = n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄ - 1;
Σ = n₃n₄ + n₃n₁ + n₄n₁ - 1;
Σ = n₁n₂ + n₁n₄ + n₂n₄ - 1;
Если сложить все четыре равенства, то получится
4Σ = 2(n₁n₂ + n₁n₃ + n₁n₄ + n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄) - 4;
4Σ = 2Σ - 4; Σ = -2 чтд. :)
а) 44 см б) 54 см.
Объяснение:
Задача має 2 розв"язки.
а) Дано: АВСD - паралелограм, АЕ - бісектриса, ВЕ=5 см, СЕ=12 см. Знайти Р.
Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник, тому ΔАВЕ - рівнобедрений, АВ=ВЕ=5 см.
АВ=СD=5 см.
ВС=ВЕ+СЕ=5+12=17 см.
АD=ВС=17 см.
Р=5+17+5+17=44 см
б) Дано: АВСD - паралелограм, АЕ - бісектриса, ВЕ=12 см, СЕ=5 см. Знайти Р.
Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник, тому ΔАВЕ - рівнобедрений, АВ=ВЕ=12 см.
АВ=СD=12 см.
ВС=ВЕ+СЕ=5+12=17 см.
АD=ВС=17 см.
Р=12+17+12+17=54 см
Для расчёта необходимо учитывать удельный вес 1 куба бетона. Он составляет в среднем 1600 кг за куб. Периметр * высоту * толщину стен, вычитаешь объем проемов.