Теорема (про геометричне місце точок). Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є пряма, перпендикулярна відрізку, що з'єднує ці точки, і проходить через його середину.
Геометрическое место точек. Метод геометрических мест
Доведення. Нехай дано точки А і В, а точка С - середина відрізка АВ. Потрібно знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точок А і В.
Доказ заснований на властивості серединного перпендикуляра до відрізка.
Серединний перпендикуляр СК, що належить прямій а, як і будь-яка точка цієї прямої, - є геометричне місце точок, рівновіддалених від А і В, так як СКꓕАВ.
Припустимо, що є ще точка К1, відстань до якої від А і В однаково.
Розглянемо ΔАК1В, він розбитий відрізком К1С на два трикутника: ΔАК1С і ΔК1СВ. Якщо ці трикутники рівні, то точка К1 теж знаходиться на однаковій відстані від А і В.
Через точку С проходять дві прямі СК і СК1. На підставі теореми 16 (про єдиність перпендикуляра з точки до прямої), якщо СКꓕАВ з побудови, то СК1 не може бути перпендикулярна АВ.
Так як з двох суміжних кутів (∟К1СА і ∟К1СВ) один повинен бути гострий, а другий - тупий, то ΔК1СА≠ΔК1СВ, отже, К1А≠К1В (є дві рівні сторони, АС=ВС і К1С- спільна, але немає рівних кутів між ними), значить, К1С - похила до АВ і АК1 ≠ ВК1.
По разности координат вершин треугольника находим длины сторон.
Расстояние между точками определяется по формуле:
d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
Результат расчёта:
Треугольник АВС
a(ВС) b(АС) c(АВ) p Р S
3,31662479 6,782329983 5 7,549477387 15,09895477 7,90569415
11 46 25
cos A = 0,884651737 cos B = -0,301511345 cos С = 0,711286759
Аrad = 0,485049787 Brad = 1,877073696 Сrad = 0,779469171
Аgr = 27,79130564 Bgr = 107,5484006 Сgr = 44,66029374.
ответ: периметр равен 15,09895477.