Question

Точки А,В и М лежат на одной прямой причем АМ=аМВ найдите а если для данных точек и произвольной точки О выполняется равенство а) ОМ=1/2ОА+1/2 ОВ б)ОМ=1/3 ОА+2/3 ОВ

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим данный вопрос более подробно.

Дано, что точки А, В и М лежат на одной прямой. Пусть отрезок АМ равен отрезку аМВ, то есть АМ = аМВ.

а) Для данного случая у нас выполняется равенство:
ОМ = 1/2ОА + 1/2ОВ.

Решение:
Для начала, заметим, что отрезок АМ делится точкой О пополам, так как ОМ = 1/2ОА + 1/2ОВ.

Теперь воспользуемся координатами точек для удобства решения. Предположим, что точка А имеет координату (x1, y1), точка В - (x2, y2), и точка М - (x, y).

Так как точка М делит отрезок АВ пополам, координаты точки М можно выразить следующими уравнениями:

x = (x1 + x2)/2 и y = (y1 + y2)/2.

Также известно, что отрезок АМ равен отрезку аМВ:

AM = aMV.

Это равенство можно выразить следующим образом через координаты точек:

√((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = a√((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2).

Возведем в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = a^2 * ((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2).

Раскроем скобки:

x^2 - 2x1*x + x1^2 + y^2 - 2y1*y + y1^2 = a^2 * (x2^2 - 2x2*x + x^2 + y2^2 - 2y2*y + y^2).

Сократим некоторые слагаемые:

- 2x1*x + x1^2 - 2y1*y + y1^2 = a^2 * (- 2x2*x + y2^2 - 2y2*y + x2^2).

Сгруппируем слагаемые с переменными x и y:

(- 2x1 + a^2 * 2x2)x + (x1^2 + y1^2 - a^2 * y2^2 + a^2 * 2y2)y = x1^2 + y1^2 - a^2 * y2^2 + a^2 * x2^2.

Таким образом, у нас получилось уравнение прямой, содержащей точки А, В и М.

В данном случае мы можем предположить значения координат точек А и В, затем заменить их в данное уравнение и решить его относительно a.