Около правильного многоугольника можно описать единственную окружность.
Доказательство:
А₁А₂А₃... - правильный многоугольник.
Пусть биссектрисы углов А₁ и А₂ пересекаются в точке О.
Так как углы А₁ и А₂ многоугольника равны, то равны и углы 1 и 2.
Тогда ΔА₁ОА₂ - равнобедренный, т.е. точка О равноудалена от вершин А₁ и А₂.
∠3 = ∠2, так как ОА₂ биссектриса, центральные углы правильного многоугольника равны (∠А₁ОА₂ = ∠А₂ОА₃), сторона ОА₂ общая для треугольников А₁ОА₂ и А₂ОА₃, значит треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Тогда ОА₃ = ОА₁.
Аналогично можно доказать, что равны и остальные треугольники. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин, значит она - центр описанной окружности.
Эта окружность будет описана и около треугольника, например, А₁А₂А₃, а вокруг треугольника можно описать единственную окружность, значит данная окружность - единственная, которую можно описать около правильного многоугольника.
Дано:
Р = 30 см
а - основание равнобедренного треугольника
b - боковая сторона равнобедренного треугольника
1) а - b = 3 cм
2) b - a = 3 cм
Найти:
а и b
Периметр равнобедренного треугольника равен
Р = а + 2b
1) Из выражения а - b = 3 cм найдём а = b + 3
Тогда периметр
Р = b + 3 + 2b
P = 3b + 3
По условию
Р = 30cм
30 = 3b + 3
3b = 27
b = 9
a = 9 + 3 = 12
Проверим неравенство треугольника
Длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон
9 < 9 + 12
12 < 9 + 9
Неравенство треугольника выполняется, значит, стороны треугольника равны: 9 см; 9 см и 12 см
2) Из выражения b - а = 3 cм найдём а = b - 3
Тогда периметр
Р = b - 3 + 2b
P = 3b - 3
По условию
Р = 30cм
30 = 3b - 3
3b = 33
b = 11
a = 11 - 3 = 8
Проверим неравенство треугольника
Длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон
8 < 8 + 11
11 < 8 + 8
Неравенство треугольника выполняется, значит, стороны треугольника равны: 11 см; 11 см и 8 см
1) 9 см; 9 см и 12 см
2) 11 см; 11 см и 8 см
Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО = al, а угол АLO = be.
Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т.к. они прямоугольные (уг. OBN = уг. ОКN = 90гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB = ОК и равны радиусу окружности.
Тогда уг.ВNО = уг.КNО = al.
Аналогично для тр-ков ОAL и ОКL: уг.ALO = уг.КLО = be.
В тр-ке LON сумма углов уг.КLО + уг.КNO = al + be, уг.LON =180 - (al + be)
Рассмотрим углы при точке О: уг. KON = 90-al, уг.KOL = 90-be, а уг.LON =180 -( уг. NOB + уг.LOA) = 180-(90-al)-(90-be) = al + be.
Итак получили: уг.LON =180 - (al + be) и уг.LON = al + be.
180 - (al + be) = al + be и 2(al + be) = 180. Откуда al + be =90гр.
И уг.LON = al + be = 90гр., т.е. тр-к LON - прямоугольный.