Question

Докажите что четырёхугольник АВСД - прямоугольник. Если А(-1;5;-4) В(3;2;4), С(6;2;1) Д(2;1;-7)​

Answer 1

Для доказательства того, что четырехугольник АВСД является прямоугольником, мы должны проверить, являются ли его стороны перпендикулярными друг другу.

Для начала, давайте вычислим векторы, соответствующие сторонам АВ, ВС, СД и ДА.

Вектор АВ: AB = B - A = (3 - (-1), 2 - 5, 4 - (-4)) = (4, -3, 8)
Вектор ВС: BC = C - B = (6 - 3, 2 - 2, 1 - 4) = (3, 0, -3)
Вектор СД: CD = D - C = (2 - 6, 1 - 2, -7 - 1) = (-4, -1, -8)
Вектор ДА: DA = A - D = (-1 - 2, 5 - 1, -4 - (-7)) = (-3, 4, 3)

Для того, чтобы доказать, что стороны перпендикулярны, мы должны проверить, является ли скалярное произведение каждой пары векторов равным нулю.

AB * BC = (4 * 3) + (-3 * 0) + (8 * -3) = 12 - 24 = -12
BC * CD = (3 * -4) + (0 * -1) + (-3 * -8) = -12 + 0 + 24 = 12
CD * DA = (-4 * -3) + (-1 * 4) + (-8 * 3) = 12 - 4 - 24 = -16
DA * AB = (-3 * 4) + (4 * -3) + (3 * 8) = -12 - 12 + 24 = 0

Как мы видим, результаты скалярного произведения для сторон AB * BC, BC * CD и DA * AB не равны нулю. Однако, скалярное произведение CD * DA равно -16, что не равно нулю.

Исходя из этого, мы можем заключить, что не все стороны четырехугольника АВСД попарно перпендикулярны друг другу. Это значит, что четырехугольник АВСД не является прямоугольником.