В кубе ABCDA1B1C1D1, ребра которого равны 4, на ребре BB1 взята точка T так, что BT:TB1=1:3. Найти синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС)
Объяснение:
Т.к. BT:TB₁=1:3 и ВВ₁=4 ,то ВТ=4:4*1=1 (см).
Из ΔАВС-прямоугольного , по т. Пифагора найдем
АС=√(4²+4²)=4√2 (см). Значит ВD=4√2 см⇒ВО=2√2 см.
В кубе все грани квадраты⇒АС⊥ВD и ТВ⊥ВD ⇒ по т. о трех перпендикулярах ∠ТОВ-линейный угол между плоскостями (АВС) и (АТС).
ΔВТО-прямоугольный , по т. Пифагора ТО²=ВТ²+ТО². ТО=3 см.
sin∠ТВО=ТВ/ТО, sin∠ТВО=1*3.
Синус угла между плоскостями (АВС) и (АТС) равен 1/3.
находим площади треугольников по формуле герона:
S=rad(p(p-a)(p-b)(p-c))
rad-корень
p-полупериметр
a,b,c-стороны треугольника
1)Находим полупериметр:
(формула: p=(a+b+c)/2)
полупериметр первого треугольника:
p=(5+8+12)/2
p=12,5cm
полупериметр второго треугольника:
p=(15+24+36)/2
p=37,5cm
2)Находим площадь:
площадь первого треугольника:
S1=rad(12,5(12,5-5)(12,5-8)(12,5-12))
S1=rad(12,5×7,5×4,5×0,5)
S1=(15rad15)4
площадь второго треугольника:
S2=rad(37,5(37,5-15)(37,5-24)(37,5-36))
S2=rad(37,5×22,5×13,5×0,5)
S2=(135rad5)/4
3)Находим отношение площадей:
S1/S2=((15rad15)/4)/((135rad5)/4)
S1/S2=(rad3)/9
линейкой измерим: АС=4, ВС=3, АВ=4.5, тогда Р=11.5