Через вершину конуса с основанием радиуса R проведена плоскость, которая пересекает его основание по хорде, которую видно из центра основания под углом α, а из вершины – под углом β. Найти площадь сечения.
--------
Данное сечение конуса - равнобедренный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна а.
Тогда его площадь можно выразить S=a²•sinβ/2.
1) Примем длину хорды равной х. Тогда из треугольника в основании, образованного хордой и двумя радиусами, квадрат её длины можно выразить по т.косинусов.
х²=2R²-2R²•cosα=2R²(1-cosα)
2) Выразим квадрат длины хорды по т.косинусов из треугольника в сечении:
х²=2а²-2а²•cosβ=2а²(1-cosβ)
3) Приравняем найденные значения х²
2R²(1-cosα)=2а²(1•cosβ)
Выразим а² из этого уравнения:
а²=R²(1-cosα):(1-cosβ)
Отсюда
S сечения=[R²(1-cosα):(1-cosβ)]•sinβ:2
Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. В нём ребро А1В1 параллельно ребру АВ. Ребро АВ лежит в плоскости АВС, тогда ребро А1В1 параллельно плоскости АВС. Аналогично, ребро В1С1 параллельно ребру ВС, лежащему в плоскости АВС, тогда оно параллельно плоскости АВС.
Теперь обозначим плоскость АВС за α, прямую, содержащую ребро А1В1 за а, прямую, содержащую ребро В1С1 за b. Тогда прямые a и b параллельны α, но из этого не следует, что a параллельна b - в нашем случае эти прямые имеют общую точку B1.
ответ: не следует.