Если отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. Дано: ВО=DO, градусные меры углов АВС=45, АОС=95, BCD=50. Найдите угол ODC, предварительно доказав, что треугольники АВО и СDО равны.
А) Прямые СА1 и АВ1 -скрещивающиеся прямые по определению: "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек". Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем В1С2 параллельно А1С. Тогда <АВ1C2=90° (дано). Соединим точки С и С2, В и С2 => четырехугольник АСС2В - параллелограмм по построению. АС2 и СВ - его диагонали, которые точкой пересечения О делятся пополам. В прямоугольном треугольнике АВ1С2 отрезок В1О - медиана и В1О=АО=ОС2. Треугольник ОВС2 - прямоугольный, так как <OBC2=<ACB (накрест лежащие при параллельных АС и ВС2 и секущей ВС). Тогда по Пифагору ВС2²=ОС2²-ОВ². В прямоугольном треугольнике ОВ1В (<OВВ1=90°, так как призма прямая) по Пифагору ВВ1²=ОВ1²-ОВ² или ВВ1²=ОС2²-ОВ². Следовательно, ВВ1=ВС2 или АА1=АС, что и требовалось доказать.
Вариант с использованием теоремы о трех перпендикулярах: "Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной". Проведем прямую "а" параллельно прямой А1С. Тогда АВ1 перпендикулярна этой прямой, так как она перпендикулярна А1С (дано). Прямая АС1- проекция АВ1 на плоскость грани АА1С1С. Следовательно, АС1 перпендикулярна прямой "а" и перпендикулярна прямой А1С, параллельной прямой "а". Итак, А1С перпендикулярна АС1, а это диагонали прямоугольника АА1С1С. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями - квадрат. АА1=АС, что и требовалось доказать.
б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Значит нам надо найти расстояние между прямой А1С и плоскостью АВ1С2, которая параллельна прямой А1С по построению так как В1С2 параллельна А1С. Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости. Геометрическое решение затруднено построением искомого перпендикуляра. Применим координатный (векторный) метод. Привяжем начало координат к точке С. Тогда имеем точки А(0;6;0), В1(3;0;6), А1(0;6;0) и С(0;0;0). Вектор АВ1{3-0;0-6;6-0)=АВ1{3;-6;6}, вектор А1С{0-0;0-6;0-6}=А1С{0;-6;-6}. Уравнение прямой АВ1: (Х-0)/3=(У-6)/-6=(Z-0)/6 или Х/3=(У-6)/6=Z/6. Уравнение прямой А1С: (Х-0)/0=(У-б)/-б=(Z-0)/-б или х/0=(У-6)/-б=Z/-б. Даны скрещивающиеся прямые АВ1: X/3=(Y-6)/6=Z/6. A1C: X/0=(Y-6)/6=Z/6. Через прямую AB1 проводим плоскость, параллельную прямой A1C (находим уравнение этой плоскости). Поскольку прямая АВ1 должна лежать в плоскости , берем точку А, принадлежащую первой прямой, и её направляющий вектор: А(0;6;0), n1{3;6;6} (координаты направляющего вектора - знаменатели дробей из уравнения прямой). Находим уравнение плоскости через определитель: |X-0 3 0| X*| 6 -6| - (Y-6)*| 3 0| + Z*|3 0| =0. |Y-6 6 -6| |-6 -6| |-6 -6| |6 -6| |Z-0 -6 -6| =0; -72X-(Y-6)(-18)+Z(-18)=0 или 4X-Y-Z+6=0 - получили уравнение прямой с коэффициентами А=4, В=-1, С=-1, D=6. Расстояние от прямой до плоскости (расстояние от любой точки прямой до этой плоскости) находим по формуле: d(С;α)=|A*Xc+B*Yc+C*Zc+D|/√(A²+B²+C²), взяв точку С(0;0;0), принадлежащую прямой СА1. d(C;α)=6/√(16+1+1)=6/3√2=2/√2=√2. ответ: искомое расстояние равно √2.
Геометрический решения (приложение 2): Проведем В1С2 и АМ параллельно СА1. СМ=СС1=СА=6. МАВ1С2 - прямоугольник, так как <AB1C2=90° (дано), а В1С2 и АМ параллельно СА1 по построению. АВС2С - параллелограмм по построению. В1К - высота из прямого угла. МР=В1К (так как АВ1С2М - прямоугольник). СР - высота из прямого угла (треугольник АСО). СН - высота из прямого угла (треугольник АСВ). АВ=√(АС²+СВ²)=√(36+9)=3√5. АВ1=√(А1В1²+АА1²)=√(45+36)=9. В1С2=√(ВВ1²+С2В²)=√(36+36)=6√2. АС2=√(АВ1²+В1С2²)=√(81+72)=3√17. В1К=РМ=АВ1*В1С2/АС2=9*6√2/3√17=18√2/√17. АО=АС2/2=(3√17)/2. СР=АС*СО*/АО=6*1,5/((3√17)/2)=6/√17. СН=СР*СМ/РМ=(6/√17)*6/(18√2/√17)=2/√2=√2. ответ: √2.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Дано: ΔАВС, КМ - средняя линия. Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2
Доказательство:
1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС. По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М. Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит КМ ║ АС. 2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н - середина АС. АКМН - параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проведем В1С2 параллельно А1С. Тогда <АВ1C2=90° (дано).
Соединим точки С и С2, В и С2 => четырехугольник АСС2В - параллелограмм по построению. АС2 и СВ - его диагонали, которые точкой пересечения О делятся пополам.
В прямоугольном треугольнике АВ1С2 отрезок В1О - медиана и В1О=АО=ОС2. Треугольник ОВС2 - прямоугольный, так как <OBC2=<ACB (накрест лежащие при параллельных АС и ВС2 и секущей ВС). Тогда по Пифагору ВС2²=ОС2²-ОВ².
В прямоугольном треугольнике ОВ1В (<OВВ1=90°, так как призма прямая) по Пифагору ВВ1²=ОВ1²-ОВ² или ВВ1²=ОС2²-ОВ². Следовательно, ВВ1=ВС2 или АА1=АС, что и требовалось доказать.
Вариант с использованием теоремы о трех перпендикулярах: "Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной". Проведем прямую "а" параллельно прямой А1С. Тогда АВ1 перпендикулярна этой прямой, так как она перпендикулярна А1С (дано). Прямая АС1- проекция АВ1 на плоскость грани АА1С1С. Следовательно, АС1 перпендикулярна прямой "а" и перпендикулярна прямой А1С, параллельной прямой "а". Итак, А1С перпендикулярна АС1, а это диагонали прямоугольника АА1С1С. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями - квадрат. АА1=АС, что и требовалось доказать.
б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Значит нам надо найти расстояние между прямой А1С и плоскостью АВ1С2, которая параллельна прямой А1С по построению так как В1С2 параллельна А1С.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.
Геометрическое решение затруднено построением искомого перпендикуляра.
Применим координатный (векторный) метод. Привяжем начало координат к точке С. Тогда имеем точки А(0;6;0), В1(3;0;6), А1(0;6;0) и С(0;0;0).
Вектор АВ1{3-0;0-6;6-0)=АВ1{3;-6;6}, вектор А1С{0-0;0-6;0-6}=А1С{0;-6;-6}. Уравнение прямой АВ1: (Х-0)/3=(У-6)/-6=(Z-0)/6 или Х/3=(У-6)/6=Z/6.
Уравнение прямой А1С: (Х-0)/0=(У-б)/-б=(Z-0)/-б или х/0=(У-6)/-б=Z/-б.
Даны скрещивающиеся прямые АВ1: X/3=(Y-6)/6=Z/6. A1C: X/0=(Y-6)/6=Z/6.
Через прямую AB1 проводим плоскость, параллельную прямой A1C (находим уравнение этой плоскости).
Поскольку прямая АВ1 должна лежать в плоскости , берем точку А, принадлежащую первой прямой, и её направляющий вектор:
А(0;6;0), n1{3;6;6} (координаты направляющего вектора - знаменатели дробей из уравнения прямой).
Находим уравнение плоскости через определитель:
|X-0 3 0| X*| 6 -6| - (Y-6)*| 3 0| + Z*|3 0| =0.
|Y-6 6 -6| |-6 -6| |-6 -6| |6 -6|
|Z-0 -6 -6| =0;
-72X-(Y-6)(-18)+Z(-18)=0 или
4X-Y-Z+6=0 - получили уравнение прямой с коэффициентами
А=4, В=-1, С=-1, D=6.
Расстояние от прямой до плоскости (расстояние от любой точки прямой до этой плоскости) находим по формуле:
d(С;α)=|A*Xc+B*Yc+C*Zc+D|/√(A²+B²+C²), взяв точку С(0;0;0), принадлежащую прямой СА1.
d(C;α)=6/√(16+1+1)=6/3√2=2/√2=√2.
ответ: искомое расстояние равно √2.
Геометрический решения (приложение 2):
Проведем В1С2 и АМ параллельно СА1.
СМ=СС1=СА=6.
МАВ1С2 - прямоугольник, так как <AB1C2=90° (дано), а В1С2 и АМ параллельно СА1 по построению.
АВС2С - параллелограмм по построению.
В1К - высота из прямого угла. МР=В1К (так как АВ1С2М - прямоугольник).
СР - высота из прямого угла (треугольник АСО).
СН - высота из прямого угла (треугольник АСВ).
АВ=√(АС²+СВ²)=√(36+9)=3√5.
АВ1=√(А1В1²+АА1²)=√(45+36)=9.
В1С2=√(ВВ1²+С2В²)=√(36+36)=6√2.
АС2=√(АВ1²+В1С2²)=√(81+72)=3√17.
В1К=РМ=АВ1*В1С2/АС2=9*6√2/3√17=18√2/√17.
АО=АС2/2=(3√17)/2.
СР=АС*СО*/АО=6*1,5/((3√17)/2)=6/√17.
СН=СР*СМ/РМ=(6/√17)*6/(18√2/√17)=2/√2=√2.
ответ: √2.