В ромбе все стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано, что AM/MB = CK/KD = 1,5. =>
АМ=1,5·MВ; СК = 1,5·KD.
АВ = АМ+МВ = 5 => 2,5·MB = 5 => MB = 2.
CD = CK+KD = 5 => 2,5·KD = 5 => KD = 2.
MB║KD как части противоположных мторон ромба.
Значит MBKD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Рассмотрим треугольники МВD и АВО.
МВ/ВО = 2/√5 = 2√5/5 и ВD/AB = 2√5/5.
Итак, в этих треугольниках стороны пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны (угол В - общий).
Следовательно, эти треугольники подобны, а так как треугольник АВО прямоугольный, то и треугольник MBD - прямоугольный.
В параллелограмме MBKD угол MDB - прямой (доказано выше), значит четырехугольник MBKD - прямоугольник.
Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых <А=<А1=90°, <C=<C1 и высоты АН и А1Н1 равны. Тогда и <B=<B1, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть <B=90-С, а <D1=90-С1. Высоты АН и А1Н1 делят треугольники АВС и А1В1С1 на подобные. Значит <BAH=<C, a <CAH=<B. Точно так же <B1A1H1=<C1, a <C1A1H1=<B1. Но <C=<C1 a <B=<B1. Значит <BAH=<B1A1H1, a <CAH=<C1A1H1. Тогда прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<BAH=<B1A1H1). Значит ВН=В1Н1. Прямоугольные треугольники АСН и А1С1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<СAH=<С1A1H1). Значит СН=С1Н1. ВС=ВН+СН, В1С1=В1Н1+С1Н1. Отсюда ВС=В1С1. Гипотенузы треугольников ВС и В1С1 равны, острые углы их тоже равны, значит треугольники АВС и А1В1С1 равны по равенству гипотенузы и острому углу (третий признак). Что и требовалось доказать.
Pmbkd = 12 ед.
Доказательство в приложении.
Объяснение:
В ромбе все стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано, что AM/MB = CK/KD = 1,5. =>
АМ=1,5·MВ; СК = 1,5·KD.
АВ = АМ+МВ = 5 => 2,5·MB = 5 => MB = 2.
CD = CK+KD = 5 => 2,5·KD = 5 => KD = 2.
MB║KD как части противоположных мторон ромба.
Значит MBKD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Рассмотрим треугольники МВD и АВО.
МВ/ВО = 2/√5 = 2√5/5 и ВD/AB = 2√5/5.
Итак, в этих треугольниках стороны пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны (угол В - общий).
Следовательно, эти треугольники подобны, а так как треугольник АВО прямоугольный, то и треугольник MBD - прямоугольный.
В параллелограмме MBKD угол MDB - прямой (доказано выше), значит четырехугольник MBKD - прямоугольник.
По Пифагору найдем сторону DM:
DM = √(BD² - BM²) = √(20 - 4) = 4 ед. =>
Периметр Pmbkd = 2·(2+4) = 12 ед.