Question

2.из точки a проведены к плоскости alfa две наклонные, длины которых 18 и 2√109. их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. найдите расстояние от точки а до плоскости alfa.

Answer 1

Пусть наклонные L1=18   ; L2 = 2$\sqrt{109}$.

Проекции  $l1 = 3x\ l2= 4x$

Пусть проекция  А А1

АА1 – перпендикулярно $\alpha$

по т Пиф

$AA1^2= L1^2-l1^2=18^2-(3x)^2$  - для одного

$AA1^2= L2^2-l2^2=(2\sqrt{109})^2-(4x)^2$    - для другого

тогда

$18^2-(3x)^2 = (2\sqrt{109})^2-(4x)^2$

$324-9x^2 = 436-16x^2$

$7x^2= 112\\ x^2=16\\ x= 4\\$

 $l1=3x=3*4=12$

$AA1^2= 18^2-12^2 =180$

$AA1 =6\sqrt{5}$

Answer 2

Обозначим наклонные L1=18   ; L2 = 2√109.

Проекции  l1 = 3x  ;  l2= 4x

Пусть проекция точки А на плоскость – точка А1

АА1 – перпендикуляр к  плоскости.

Между проекций и перпендикуляром прямой угол.

Наклонная, проекция и перпендикуляр  образуют прямоугольный треугольник.

Наклонная – ГИПОТЕНУЗА

Проекция и перпендикуляр  - КАТЕТЫ

Имеем два прямоугольных  треугольника, с общей стороной – АА1.

По теореме Пифагора

АА1^2= L1^2-l1^2=18^2-(3x)^2  - для первого  треугольника

АА1^2= L2^2-l2^2=(2√109)^2-(4x)^2    - для первого  треугольника

Приравняем правые части

18^2-(3x)^2  = (2√109)^2-(4x)^2   

324-9x^2  = 436-16x^2   

7x^2= 112

X^2=16

X= 4

Тогда проекция  l1=3x=3*4=12

АА1^2= 18^2-12^2  =180

AA1 =6 √5

ответ   6 √5