Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Следовательно, третий угол равен 180° - 135° - 30° = 15°. Пусть треугольник АВС и его углы <A=30°, <B=135° и <C=15°. Отметим, что Sin135°=Sin(180-45)=Sin45° и что Sin15° ≈ 0,259.
1. Предположим, что сторона АС, лежащая против угла 130°, равна 1. Тогда по теореме синусов найдем сторону ВС: ВС=Sin30°/Sin135° = Sin30°/Sin45° или ВС=(1/2):(√2/2) = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,707. Тогда, так как Sin15°≈0,259, Sabc=(1|2)*AC*BC*Sin15° ≈ 0,09 ед.
2. Предположим, что сторона BС, лежащая против угла 30°, равна 1. Тогда по теореме синусов найдем сторону AС: AС=Sin135°/Sin30° = Sin45°/Sin30° или AС=(√2/2):(1/2) = √2 ≈ 1,41. Тогда Sabc=(1|2)*AC*BC*Sin15° ≈ 0,18 ед.
3) Предположим, что сторона AB, лежащая против угла 15°, равна 1. Тогда по теореме синусов найдем сторону AС: AС=Sin135°/Sin15° = Sin45°/Sin15° или AС=(√2/2):0,259 ≈ 2,73. Тогда Sabc=(1|2)*AC*AB*Sin30° ≈ 0,68 ед.
ответ: площадь треугольника может принимать три значения: 0,09 ед, 0,18 ед и 0,68 ед.
Делаем рисунок к задаче.
Найдя второй угол при основании bc, обнаружим, что треугольник аbc - равнобедренный. А треугольник асh- половина равностороннего треугольника и аh в нем можно найти по формуле высоты равностороннего треугольника ( по теореме Пифагора получим тот же результат).
Найдем bc=2 аh=ас√3
Искомые отношения сторон равны, поэтому
ас:bc=аb:bc=√3 :2 или ½√3
(в решении, данном во вложенном рисунке, опечатка, читаем ас:bc=аb:bc=√3)
---------------------------
Принцип решения второго задания совершенно такой же. Решение во втором рисунке.