Question

Катет прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а його проекція на гіпотенузу — 9 см. Знайдіть площу трикутника і периметр​

Answer 1

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ΔABC - прямоугольный.

∠С = 90°.

СН - высота, проведённая к гипотенузе АВ.

НВ - проекция катета СВ на гипотенузу АВ = 9 см.

СВ = 15 см.

Найти:

S(ΔАВС) = ?

P(ΔАВС) = ?

Пусть АН = х.

По свойству проекций -

$CB=\sqrt{HB*AB}$

АB = 9 (cм)+х.

Подставим в формулу известные нам значения и решим полученное уравнение -

$15=\sqrt{9(9+x)}\\\\15^{2} =(\sqrt{9(9+x)}^{2} \\\\225 = 9(9+x)\\\\225=81+9x\\\\9x=225-81\\\\9x=144\\\\x=16$

АН = х = 16 см.

АВ = 9 см+16 см = 25 см.

По теореме Пифагора -

$AC^{2} +CB^{2} =AB^{2} \\\\AC^{2} =AB^{2} -CB^{2} \\\\$

Подставим в формулу известные нам значения и найдём значение АС -

$AC^{2} =AB^{2} -CB^{2} \\\\AC = \sqrt{AB^{2} -CB^{2}} \\\\AC = \sqrt{25^{2} -15^{2}}\\\\AC = \sqrt{625-225}\\\\AC = \sqrt{400}\\\\AC = 20$

AC = 20 см.

P(ΔАВС) = АС+АВ+СВ = 20 см+25 см+15 см = 60 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов -

S(ΔABC) = 0,5*CB*AC

S(ΔABC) = 0,5*15 см*20 см

S(ΔABC)  = 150 см².

ответ: 150 см², 60 см.