100 точка дотику вписаного кола ділить сторону різностороннього трикутника на два відрізки, один із яких на 15 см менший, ніж периметр трикутника. знайдіть сторону трикутника.
Для начала найдём высоту ромба. S(АВСД)=а²·sinα=8²/2=32 см². S(АВСД)=a·Н ⇒ Н=S(АВСД)/а=32/8=4 см.
В правильном треугольнике АДК КЕ - высота. КЕ=а√3/2=4√3 см.
Прямые АД и ВС параллельны. Проведём МЕ⊥АД, М∈ВС ⇒ МЕ⊥ВС. МЕ=Н=4 см. КЕ⊥АД и МЕ⊥ВС, значит по теореме о трёх перпендикулярах КМ⊥ВС, следовательно КМ=4√2 см (по условию).
КЕ⊥АД и МЕ⊥АД, значит ∠КЕМ - линейный угол двугранного угла КАДМ или угол между плоскостями АДК и АВС.
В треугольнике КМЕ по теореме косинусов: cos∠КЕМ=(КЕ²+МЕ²-КМ²)/(2КЕ·МЕ), cos∠КЕМ=(48+16-32)/(2·4√3·4)=32/(32√3)=1/√3 - это ответ.
Диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения
смотрим треугольник АОК , он прямоугольный (так как расстояние определяется перпендикуляром) катет против 30 градусов =половине гипотенузы гипотенуза =ОК*2 АО=2*2=4
АС=АО*2=4*2=8
смотрим треугольник АВО он равнобедренный т.к. ВО=АО т.к. они половинки диагоналий, значит углу у оснований равны по 60, находим угол ВОА=180-60-60=60 значит тр АВО равносторонний и ВА=4 (тоже самое можно найти и рассмотрев треугольник САD, и найти СD по половине гипотенузы)
берём треугольник АВС и по теореме пифагора ищем ВС 64=16+ВС в квадрате ВС=корень 48
*4 либо 
Для начала найдём высоту ромба.
S(АВСД)=а²·sinα=8²/2=32 см².
S(АВСД)=a·Н ⇒ Н=S(АВСД)/а=32/8=4 см.
В правильном треугольнике АДК КЕ - высота. КЕ=а√3/2=4√3 см.
Прямые АД и ВС параллельны. Проведём МЕ⊥АД, М∈ВС ⇒ МЕ⊥ВС. МЕ=Н=4 см.
КЕ⊥АД и МЕ⊥ВС, значит по теореме о трёх перпендикулярах КМ⊥ВС, следовательно КМ=4√2 см (по условию).
КЕ⊥АД и МЕ⊥АД, значит ∠КЕМ - линейный угол двугранного угла КАДМ или угол между плоскостями АДК и АВС.
В треугольнике КМЕ по теореме косинусов:
cos∠КЕМ=(КЕ²+МЕ²-КМ²)/(2КЕ·МЕ),
cos∠КЕМ=(48+16-32)/(2·4√3·4)=32/(32√3)=1/√3 - это ответ.