Question

Задание №1.

Дан ABCDA1B1C1D1– параллелепипед. Точки К и Т – середины ребер ВС и D1C1 соответственно. Разложите векторы: а)AC ; б)AK ; в)CT ;г) CA1; д)DK ; е)BT ; ж) A1K по векторам CB, CD, CC1.

Задание №2.
Дан АВСD – тетраэдр. Точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС, причем векторы DA=a, DB=b, DC=c. Разложите векторы: а) DM; б) AB; в) AM по векторам: a,b,c

Answer 1

Задание №1:

а) Разложим вектор AC по векторам CB, CD, CC1.

Для этого нам нужно найти компоненты вектора AC вдоль векторов CB, CD и CC1.

По определению, компонента вектора AC вдоль вектора CB равна проекции вектора AC на вектор CB.

Для нахождения проекции вектора AC на вектор CB мы можем воспользоваться формулой проекции:
proj_AB = (A • B / |B|^2) * B

где A • B - скалярное произведение векторов A и B,
|B|^2 - квадрат длины вектора B.

Вычислим компоненту вектора AC вдоль вектора CB:
proj_AC_CB = (AC • CB / |CB|^2) * CB

Таким образом, вектор AC разложим по вектору CB следующим образом:
AC = proj_AC_CB + BC

Аналогичным образом можем разложить вектор AC по векторам CD и CC1.

б) Разложим вектор AK по векторам CB, CD, CC1.

Аналогично пункту а), найдем компоненту вектора AK вдоль каждого вектора и получим:
AK = proj_AK_CB + BK = proj_AK_CD + DK = proj_AK_CC1 + C1K

в) Разложим вектор CT по векторам CB, CD, CC1.

Процедура такая же, как и в предыдущих пунктах:
CT = proj_CT_CB + BT = proj_CT_CD + DT = proj_CT_CC1 + C1T

г) Разложим вектор CA1 по векторам CB, CD, CC1.

Аналогично предыдущим пунктам:
CA1 = proj_CA1_CB + B1A1 = proj_CA1_CD + D1A1 = proj_CA1_CC1 + C1A1

д) Разложим вектор DK по векторам CB, CD, CC1.

DK = proj_DK_CB + BK = proj_DK_CD + BC = proj_DK_CC1 + C1D

е) Разложим вектор BT по векторам CB, CD, CC1.

BT = proj_BT_CB + BT = proj_BT_CD + BC = proj_BT_CC1 + C1B

ж) Разложим вектор A1K по векторам CB, CD, CC1.

A1K = proj_A1K_CB + B1K = proj_A1K_CD + D1K = proj_A1K_CC1 + C1K

Задание №2:

а) Разложим вектор DM по векторам a,b,c.

DM = proj_DM_a + MA = proj_DM_b + MB = proj_DM_c + MC

б) Разложим вектор AB по векторам a,b,c.

AB = proj_AB_a + MA = proj_AB_b + MB = proj_AB_c + MC

в) Разложим вектор AM по векторам a,b,c.

AM = proj_AM_a + MA = proj_AM_b + MB = proj_AM_c + MC

Для каждого из этих разложений мы будем использовать формулу проекции, аналогичную предыдущим заданиям.