1) Выбрать верный вариант ответа
А) В любой четырехугольник можно вписать окружность.
Б) Около любого треугольника можно описать только 3 окружности.
В) Если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то в него можно вписать окружность.
Г) Если сумма противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна, то вокруг него можно описать окружность.
Д) В треугольник можно вписать только одну окружность.
2) Центр окружности, вписанной в треугольник представляет собой
А) Точку пересечения медиан треугольника.
Б) Точку пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
В) Точку пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Г) Точку пересечения высот треугольника.
Д) Правильного ответа нет.
3) В любом вписанном четырехугольнике
А) Сумма внутренних углов равна 360° градусов.
Б) Суммы длин противоположных сторон равны.
В) Сумма противоположных углов равна 160°.
4) Площадь треугольника равна
А) Произведению периметра на радиус вписанной окружности.
Б) Произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
В) Произведению полупериметра на радиус описанной окружности.
5) Центр окружности описанной около треугольника представляет собой точку пересечения
А) Высот треугольника
Б) Биссектрис внутренних углов треугольника.
В) Медиан треугольника.
Г) Срединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Д) Правильного ответа нет.
приложение №1):
Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см.
Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см.
Радиус 5/2=2,5 см.
приложение №2):
Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника.
Радиус описанной окружности -
R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол.
Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей.
Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β).
R=СД/2sinβ=2/sinβ;
R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ.
Делим одно выражение на другое.
3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3
R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.