В треугольнике ABC AC= BC, K - точка пересечения биссектрис треугольника, а O - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Отрезок OK пересекает сторону AB в точке E и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треугольника ABC.
------
Точка К равноудалена от сторон треугольника, поэтому является центром вписанной окружности.
Точка О - равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Точка К лежит на высоте и медиане к АВ ( на срединном перпендикуляре), точка О лежит на срединном перпендикуляре к АВ, поэтому С, К, Е и О принадлежат одной прямой СО.
Т.к. отрезок КО пересекает АВ, точка О расположена вне треугольника.
Высота и медиана СЕ ⊥ АВ и делит его пополам.
Соединим точки К и О с вершинами А и В.
В получившемся четырехугольнике АКВО отрезки АЕ=ВЕ, КЕ=ОЕ.
Треугольники, на которые КО и АВ делят этот четырехугольник, прямоугольные и равны по двум катетам.
Следовательно, АК=ВК=ВО=АО, и АКВО - ромб. АВ - его диагональ и делит его углы пополам.
Пусть ∠ЕАО=α, тогда ∠КАЕ=α, а, так как АК - биссектриса угла САВ, то ∠САК=∠ЕАК, и ∠САЕ=2α.
∆СОА - равнобедренный ( по условию ОА=ОС=ОВ).
∠ОСА=∠ОАС=3α.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В ∆ СЕА ∠САЕ+∠АСЕ=5α.
5α=90°, откуда α=90°:5=18°
∠САВ=∠СВА=2•18°=36°
∠АСВ=180°-2•36°=108°.
a) Вектор AB {-1-3 ; 5-2} = {-4 ; 3}
Вектор DC {2-(-3) ; 0-(-4)} = {5 ; 4}
б) вектор m {m1;m2}=2AB - 3CD
вектор CD = {5; 4}
2AB {-8 ; 6}
3CD {15 ; 12}
m {m1;m2} = {-8 - 15; 6 - 12} = {-23 ; -6}
в)А теперь вычтем из 2AB 3DC
p(-23;18)