1) даны векторы а{4; 2}, b{-3; 0}. найдите координаты вектора х=4а+5b и его длину 2) даны координаты четырех точек а(7; 4), в(5; -2), с(-6-4), d(-3; 7). постройте четырехугольник авсd в системе координат и найдите его периметр. 3) дан треугольник авс, ав=11, вс=17, угол в равен 30°. найдите сторону ас, угол а, угол в, площадь треугольника авс 4) в прямоугольном треугольнике с катетами 12см и 5см проведена медиана к гипотенузе. найдите синус угла между меньшим катетом и медианой 5) в параллелограмме авсd через точку о - середину диагонали ас проведена прямая мn, перпендикулярная ас соответственно. ас=16, мn=12, nd=2. а) определите вид четырехугольника амсn б) найдите длины сторон амсn b) вычислите площадь амсn и авсd
(5) (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6) (5) – очевидно. (4) (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .
BDC + CDA + ADB = BAC+ CBA + ACB = 180o.(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.
(8) (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,