1. 1) ∠AOD=∠BOC=130° (вертикальные), значит ∪ ВС=130°(стягивает центральный угол).
2)∪ АВ=∪АС- ∪ВС=180°-130°=50°, значит
∠АСВ =50/2=25 °(вписанный не центральный угол)
2. 1) ∆ АВС- равнобедренный , значит ∠ А=∠С=(180°-177°)/2=1,5°.
2) ∪ ВС=1,5°·2=3° (стягивает вписанный угол), тогда ∠ВОС=3° (центральный угол )
3. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-7°=83° .
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=83°.
4. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-84°=6°
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=6°.
5. ∠ ABC =90°(вписанный), т.к ∪ АС=180° (опирается на диаметр АС). Тогда ∠С=180°-90°-75°=25°
6. 1) ∪ AN=73°·2=146° (стягивает вписанный ∠ NBA). Тогда
∪ NB =∪ AB-∪AN=180°-146°=34°.
2) ∠NMB=34°/2=17° (вписанный не центральный угол)
7. 1) ∆ АОВ- равнобедренный(АО=ОВ=r), значит ∠ОАВ=∠АВО=15°. Тогда ∠ОВС =56°-15°=41°.
2) ∆ ВОС- равнобедренный(ВО=ОС=r), значит ∠ОВС=∠ВСО=41°.
8. ∆ АОВ =∆ СОD (AO=OD=r, CO=OB=r, ∠AОВ =∠CОD-вертикальные ), значит ∠ОАВ =∠ОСD=25°
Задача 6
В ΔАВС , АВ=ВС, АЕ -биссектриса, Е∈ВС. Найти Р( АВС), если ВС-АС=8 и ВЕ:ЕС=3:2.
Решение.
Пусть одна часть х. Тогда ВЕ=3х, ЕС=2х ⇒ ВС=5х ⇒ АВ=5х , т.к треугольник равнобедренный.
По т. о биссектрисе треугольника
, тогда 
⇒ AC=
.
По условию ВС-АС=8 , поэтому 5х-
= 8 или 
=8 или х=4,8.
ВС=5*4,8=24 , АВ=24 , АС=
.
Р=24+24+16=64.
Задача 8
Стороны треугольника относятся как 2:3:3 . Найти периметр треугольника , если основание на 5 единиц меньше боковой стороны.
Решение .
Дан ΔАВС. АВ=ВС . Пусть одна часть х. Тогда АВ=ВС=3х, АС=2х .
По условию АС меньше АВ на 5, т.е АВ-АС=5.
Получим 3х-2х=5 или х=5 . Тогда АВ=ВС=3*5=15, АС=2*5=10 .
Р=15+15+10=40.
Задача 9
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. , высота , опущенная на основание, равна 6 .Найти периметр треугольника .
Решение .
Дан ΔАВС , АВ=ВС ,ВН⊥АС , ∠АВС=120°.
1) Высота равнобедренного треугольника является биссектрисой ⇒∠АВН=60° .
2) ΔАВН -прямоугольный , по свойству углов ∠А=90°-60°=30°.
Против угла в 30° , лежит катет равный половине гипотенузы , т.е ВН=1/2*АВ ⇒ АВ=12 ⇒ВС=12, т.к треугольник равнобедренный.
По т. Пифагора АН²=АВ²-ВН² или АН²=12²-6² или АН=√18*6=6√3.
3) Высота равнобедренного ΔАВС является медианой, значит АН=НС=6√3 ⇒АС =12√3.
4)Р=12√3+12+12=24+12√3.