Основанием тетраэдра МАBC служит треугольник АBC в котором AB = BC и АС = 2а√3. Точка О принадлежит АС отрезок МО перпендикулярен АС и ОА = ОС. Расстояние от точки О до прямой МB равно а. Найти угол между плоскостями (AMB) и (CMB).
Проведем ОК⊥МВ. Тогда ОК - расстояние от точки О до прямой МК и ОК = а.
ΔАВС равнобедренный, значит медиана ВО (ОА = ОС по условию) является и высотой,
ВО⊥АС,
МО⊥АС по условию, значит
АС⊥(МОВ).
МВ лежит в плоскости (МОВ), значит МВ⊥АС и ОК⊥МВ по построению, тогда МВ⊥(АКС) и значит ∠АКС - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АМВ) и (СМВ).
АО = ОС = АС/2 = а√3, МО - медиана и высота в треугольнике МАС, значит он равнобедренный,
МА = МС.
ΔМАК = ΔМСК по гипотенузе и катету (∠АКМ = ∠СКМ = 90°, МА = МС и МК - общий катет), тогда
АК = КС, значит медиана ОК в равнобедренном треугольнике АКС является и высотой и биссектрисой, т.е. ОК⊥АС и ∠АКС = 2∠ОКС.
Длину стороны ромба обозначаем через a : AB =AD =BC =CD =a; точка пересечения диагоналей BD и AC → O. ΔBAD - равносторонний (AB =AD и ∠A =60° ) ⇒ BD = a ; AC =2AO =a√3 . --- MA ⊥ ( ABCD ) ⇒ MA ⊥ AB и MA ⊥ AD . ΔMAB = ΔMAD и т.к. MA =AB =a ⇒ MB =MD =√(a² +a²) =a√2 , Следовательно ΔMCD = ΔMCB ( по трем сторонам _ MC -общее) и из ΔMAC : MC =√(MA²+ AC²) = √(a²+ 3a²) =2a . --- MC линия пересечения плоскостей MCD и MCB . Проведем в треугольнике ΔMCD высоту DK: DK ⊥ MC (K- основание высоты , K ∈ [ MC] ; MC² > MB² +DC² ⇒ ∠ MDC _тупой ) , точка K соединяем с вершиной B , очевидно BK ⊥ MC из ΔMCD = ΔMCB . Таким образом ∠DKB = α искомый угол . По теореме косинусов из ΔMCD : MD² = MC² +CD² - 2MC*CD*cos∠MCD ⇔ 2a² =4a² +a² -2*2a*acos∠MCD⇒ cos∠MCD =3/4 ⇒ sin∠MCD = √(1 -cos²∠MCD) =√(1 -(3/4)² ) =(√7) / 4 KD =CD*sin∠MCD = (a√7) / 4 (из ΔKCD ). --- из ΔDKO : sin (α/2 ) = DO / DK =(a/2) / (a√7) / 4 =2 /√7. α/2 = arcsin (2 /√7) ⇒ α =2arcsin (2 /√7).
Условие задачи неполное. Должно быть так:
Основанием тетраэдра МАBC служит треугольник АBC в котором AB = BC и АС = 2а√3. Точка О принадлежит АС отрезок МО перпендикулярен АС и ОА = ОС. Расстояние от точки О до прямой МB равно а. Найти угол между плоскостями (AMB) и (CMB).
Проведем ОК⊥МВ. Тогда ОК - расстояние от точки О до прямой МК и ОК = а.
ΔАВС равнобедренный, значит медиана ВО (ОА = ОС по условию) является и высотой,
ВО⊥АС,
МО⊥АС по условию, значит
АС⊥(МОВ).
МВ лежит в плоскости (МОВ), значит МВ⊥АС и ОК⊥МВ по построению, тогда МВ⊥(АКС) и значит ∠АКС - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АМВ) и (СМВ).
АО = ОС = АС/2 = а√3, МО - медиана и высота в треугольнике МАС, значит он равнобедренный,
МА = МС.
ΔМАК = ΔМСК по гипотенузе и катету (∠АКМ = ∠СКМ = 90°, МА = МС и МК - общий катет), тогда
АК = КС, значит медиана ОК в равнобедренном треугольнике АКС является и высотой и биссектрисой, т.е. ОК⊥АС и ∠АКС = 2∠ОКС.
ΔОКС: ∠КОС = 90°,
tg∠OKC = OC / OK = a√3 / a = √3
Тогда ∠ОКС = 60°.
∠АКС = 2∠ОКС = 120°