Cторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а ее диагональное сечение - равносторонний треугольник.
Найдите обьем пирамиды
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на ее высоту.
Площадь основания - площадь квадрата-
S ABCD=а²
Высоту найдем исходя из того, что диагональное сечение пирамиды - правильный треугольник АSС.
Стороной этого треугольника является диагональ АС основания.
Диагональ квадрата равна а√2
АС=АS=SC=а√2
Так как углы правильного трегуольника равны 60°, высота пирамиды
SO=АS·sin(60°)=(а√2·√3):2=а√6):2
Объем пирамиды
V={(а²·а√6):2}:3=(а³√6):6
Его можно рассматривать, как 2 соединённых треугольника вершинами в разные стороны.
Тогда линия, соединяющая 2 соседние стороны ромба - это средняя линия треугольника и она параллельна основанию, то есть диагонали.
Аналогично, рассматривая второй треугольник, у него тоже средняя линия параллельна основанию и паралленльна первой линии.
Теперь можно перейти к другой диагонали и получит аналогичный результат - линии, соединяющие середины ромба, параллельны между собой и диагоналям.
То есть, между ними углы по 90 градусов - это и есть доказательство того, что если последовательно соединить середины сторон ромба, то получится прямоугольник.