Определения: "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся". Прямые МВ и CD - скрещивающиеся по определению. Прямые АВ и CD - параллельны, как противоположные стороны квадрата (основания). Следовательно, искомый угол между прямыми МВ и CD - это угол между скрещивающимися прямыми АВ и МВ - угол ABM. Проведем высоту боковой грани (апофему) МН. Cos(<ABM)= HB/MH. НВ = (1/2)*а, где "а" - сторона основания. АО = (1/2)*d, где "d" - диагональ основания. d = a*√2. AO= a*√2/2. Высота пирамиды MO = АО*tg30 = (a*√2/2)*(√3/3) = a*√6/6. Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору: МН=√(МО²+ОН²) = √(а²*6/36+а²/4) = (а*√15)/6. Тогда Cos(<ABM)= (а/2)/((а*√15)/6) = 3/√15 = √15/5. ответ: Cos(<ABM)= √15/5 ≈ 0,7746.
Если векторы можно взять в качестве ребер куба, то они должны быть перпендикулярны (скалярное произведение = 0 ) и иметь одинаковую длину
(a*b) = 2*(-2) + 1*2 + 2*1 = 0 - векторы перпендикулярны |a|=|b|, то есть векторы имеют одинаковую длину равную 3 Третье ребро куба должно иметь длину 3 и быть перпендикулярным как вектору a, так и вектору b. Получаем систему уравнений 2x + y + 2z = 0 -2x + 2y + z = 0 x^2 + y^2 + z^2 = 9
Из суммы уравнений (1) + (2) получаем y = -z Из разности (1) - 2 (2) получаем 2x = y Подставив эти тождества в третье получаем x^2 + 4x^2 + 4x^2 = 9 9x^2 = 9 x = +-1 То есть третий вектор может быть (1, 2, -2) или (-1, -2, 2)
Прямые МВ и CD - скрещивающиеся по определению.
Прямые АВ и CD - параллельны, как противоположные стороны квадрата (основания). Следовательно, искомый угол между прямыми МВ и CD - это угол между скрещивающимися прямыми АВ и МВ -
угол ABM.
Проведем высоту боковой грани (апофему) МН.
Cos(<ABM)= HB/MH.
НВ = (1/2)*а, где "а" - сторона основания.
АО = (1/2)*d, где "d" - диагональ основания.
d = a*√2. AO= a*√2/2.
Высота пирамиды MO = АО*tg30 = (a*√2/2)*(√3/3) = a*√6/6.
Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору:
МН=√(МО²+ОН²) = √(а²*6/36+а²/4) = (а*√15)/6.
Тогда Cos(<ABM)= (а/2)/((а*√15)/6) = 3/√15 = √15/5.
ответ: Cos(<ABM)= √15/5 ≈ 0,7746.