Центр правильного треугольника - это центр описанной и вписанной окружности, и расположен он в точке пересечения высот (медиан, биссектрис).
Т.к. все высоты правильного треугольника равны между собой, эта точка делит каждую высоту ( медиану) этого треугольника по свойству медиан в отношении 2:1, считая от вершины , т.е.
АО=ВО=СО,
.Эти отрезки - проекции наклонных МА, МВ, МС
Поскольку проекции равны, то и наклонные равны. Т.е.
МА=МВ=МС
МА по т. Пифагора
МА=√ (АО²+МО²)
АО - радиус описанной окружности и может быть найден по формуле
R=a/√3
или найти длину высоты данного правильного треугольника, и 2 ее трети и будут проекциями наклонных , т.е. равны АО.
h=a√3):2=6√3):2=3√3
AO=3√3):3)·2=2√3
МА=√(АО² + МО²)=√(12+4)=4 см
Объяснение:
Свойства правильного (равностороннего) треугольника: "В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60°. В равностороннем треугольнике высоты являются и медианами, и биссектрисами. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают. Точка пересечения серединных перпендикуляров - центр описанной окружности.
Определение: "Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике".
Следовательно, векторы ОА, ОВ и ОС - радиусы описанной около правильного треугольника окружности.
ОА=ОВ=ОС = R.
Сумма векторов ОВ + ОС = OD (по правилу сложения).
<BOC = 120°, <OBD = 60°.
|OD| = √(OA²+OC² - 2*OA*OCCos60°) или
|OD| = √(R²+R² - 2*R²*1/2) = R.
<BOD = 60°, <AOB = 120°. <BOD + <AOB = 180°.
Следовательно, AOD - развернутый угол, векторы ОА и OD равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Сумма таких векторов равна нулю, значит сумма векторов ОА+ОВ+ОС = 0, что и требовалось доказать.