Точки пересечения окружности с прямой 4х + 3y — 18 = 0 имеют координаты (0; 6) и (6; -2)
Точки пересечения окружности с прямой 3х – 4у – 1 = 0 имеют координаты (-1; -1) и (7; 5)
Объяснение:
Задача:
Центр окружности с радиусом 5 находится в точке пересечения прямых 4х + 3y - 18 = 0 и 3х - 4у - 1 = 0. В каких точках этот круг пересекает данные прямые?
Найдём точку пересечения прямых
4х + 3y - 18 = 0 | ·3 4х + 3y - 18 = 0 | ·4
3х - 4у - 1 = 0 |· 4 3х - 4у - 1 = 0 |· 3
12x + 9y - 54 = 0 16x + 12y + 72 = 0
12x - 16y - 4 = 0 9x - 12y -3 = 0
25y - 50 = 0 ⇒ y = 2 25x + 75 = 0 ⇒ x = 3
Итак. центр окружности находится в точке с координатами (3; 2)
Тогда уравнение окружности
(х - 3)² + (у - 2)² = 25 (1)
Найдём точки пересечения окружности с прямой
4х + 3у - 18 = 0
или
у = -4х/3 + 6
Подставим в (1)
(х - 3)² + (-4х/3 + 4)² = 25
х² - 6х + 9 + 16х²/9 - 32х/3 + 16 = 25
9х² - 54х + 81 + 16х² - 96х + 144 = 225
25х² - 150х =0
х² - 6х = 0
х₁ = 0; х₂ = 6;
из уравнения у = -4х/3 + 6 получаем
y₁ = 6; y₂ = -2;
Найдём точки пересечения окружности с прямой
3х – 4у – 1 = 0
или
у = 3х/4 - 1/4
Подставим в (1)
(х - 3)² + (3х/4 - 9/4)² = 25
х² - 6х + 9 + 9х²/16 - 54х/16 + 81/16 = 25
16х² - 96х + 144 + 9х² - 54х + 81 = 400
25х² - 150х - 175 =0
x² - 6x - 7 = 0
D = 6² + 4 · 7 = 64 = 8²
х₁ = 0.5 · (6 - 8) = -1 x₂ = 0.5 · (6 + 8) = 7
Из уравнения у = 3х/4 - 1/4 получаем
y₁ = -1; y₂ = 5
1.Если эти окружности касаются внешним образом. то расстояние между центрами равно сумме радиусов этих окружностей. Пусть коэффициент пропорциональноти равен х>0, тогда 3х+5х=16, откуда х=2, тогда радиус меньшей окружности равен 3*2=6/см/, а радиус большей 5*2=10/см/.
2. Если же окружности касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно разности между радиусом большей и меньшей окружностей соответственно. т.е. 5х-3х=16, откуда х=8, тогда радиус меньшей окружности равна 3*8=24/см/,а радиус большей окружности 5*8=40 /см/
ответ. задача имеет два решения. R=10cм ; r=6см
R=40см; r=24см