Основание высоты правильной пирамиды проецируется в центр описанной вокруг основания пирамиды окружности.
Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, О - центр описанной окружности= точка пересечения диагоналей квадрата.
АС =8√2 ( по формуле диагонали квадрата).
МО перпендикулярна основан, ⇒ перпендикулярна каждой прямой, проходящей в плоскости АВСD через О.
∆ МОС - прямоугольный.
OC=4√2
По т.Пифагора МС=√(MO²+CO*)=√(49+32)=9
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее граней, которые являются равнобедренными треугольниками,
иначе
Площадь боковой поверхности - произведение апофемы на полупериметр основания.
Высота МН грани ( апофема) является медианой и делит ВС пополам. По т.Пифагора
МН=√(MB²-BH*)=√(81-16)=√65
S=h•MH=16•√65=16√65 (ед. площади)
<CAD=<BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и CD и секущей АС. Значит и <ВАС=30° (АС - биссектриса) и треугольник АВС равнобедренный. Тогда его высота ВН - это и медиана. Значит ВН - это часть радиуса ВО, так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Угол АВС этого треугольника равен 120°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АDC. Значит градусная мера дуги АDC в два раза больше и равна 240°. Тогда градусная мера дуги АВС равна АВС=360°-240°=120°.
На эту дугу опирается центральный угол АОС, соответственно равный 120°. Итак, мы имеем четырехугольник АВСО, являющийся ромбом, и
точка О лежит на стороне АD нашей трапеции. Следоательно
АВ=ВС=АО=ОD=ОС=СD=R=4см. Проведем высоту трапеции СК.
В равностороннем треугольнике ОСD высота СК равна (√3/2)*а, где а=4см. СК=2√3см.
Площадь трапеции S=(BC+AD)*CК/2=12√3см².
ответ: S=12√3см².