1.Центральным углом называется угол, вершиной
которого является центр круга, а стороны его пересекают окружность.
2.Градусная мера вписанного угла равна половине дуги окружности, на которую угол опирается.
3. Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90 градусов, т.е. прямой.
4. Круг называется вписанным около четырёхугольника, если он проходит через все его четыре вершины.
5. В четырёхугольник, у которого равны суммы противоположных сторон, можно вписать окружность.
6. Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы противоположных углов четырёхугольника равны. Около четырёхугольника с углами 112,54,78 и 46 градусов нельзя описать окружность, т.к. из них нельзя составить сумму двух углов, равную сумме двух других углов.
7. Если градусная мера дуги равна 80 градусам, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен тоже 80 градусам.
8. Градусная мера дуг, на которые опираются стороны вписанного равностороннего треугольника, равна 120 градусов, т.к. 360:3=120.
9. Такой четырёхугольник нельзя вписать в круг, т.к. сумма противоположных углов должна быть равна 180 градусов, а среди указанных углов нет пары углов, дающих в сумме 180 градусов.
Объяснение:
Проведите из центра окружности О два произвольных радиуса ОА и ОВ. Угол АОВ - центральный угол окружности и равен дуге, на которую опирается, т.е. дуге АВ.
Выберете на окружности точку М и проведите две хорды МК и МД.
Угол КМД - вписанный угол окружности и равен половине дуги КД.
В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²