Пусть точка E - середина AB. Вокруг четырехугольника AEKC можно описать окружность. Поэтому сумма углов EKC и BAC равна 180°, что означает, что угол EKB = угол BAC, то есть треугольники ABC и BEK подобны (у них все углы равны). Из этого подобия следует BK/BA = BE/BC, или, если положить AB = c, AC = b, BC = a, то (a/4)/c = (c/2)/a; a = c√2; коэффициент подобия треугольников ABC и BEK равен √2/4; это легко получается из условия. Далее, пусть угол ABC = β; и еще надо обозначить CE = m; (это медиана треугольника ABC к стороне AB). Из условия известно, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника AEC, равен 5. Кроме того, известно, что площадь ACE равна половине площади ABC, поскольку CE - медиана. Как уже было найдено, если AB = c, то AE = c/2; BC = c√2; откуда Sabc = BA*BC*sin(β)/2 = (c^2)*√2*sin(β)/2; Seac = Sabc/2 = (c^2)*√2*sin(β)/4; По теореме косинусов для треугольника ABC (AC)^2 = b^2 = c^2 + (c√2)^2 - 2*c*(c√2)*cos(β) = (c^2)*(3 - 2√2*cos(β)); по теореме косинусов для треугольника EBC (EC)^2 = m^2 = (c/2)^2 + (c√2)^2 - 2*(c/2)*(c√2)*cos(β) = (c^2)*(9/4 - √2*cos(β)); Далее, используя известную формулу (R = abc/4S) для радиуса описанной окружности для треугольника AEC, легко получить 5 = AE*AC*EC/(4*Saec) = (c/2)*(c√(3 - 2√2*cos(β)))*(c√(9/4 - √2*cos(β))/((c^2)*√2*sin(β)); или 5 = с*(√(3 - 2√2*cos(β)))*(√(9/4 - √2*cos(β))/(2√2*sin(β)); Никаких дополнительных условий в задаче нет, то есть угол ABC = β; может принимать любые значения из области определения полученной функции. Кроме того, подобие треугольников ABC и KBE при любом значении β ВСЁ РАВНО означает, что вокруг четырехугольника AEKC можно описать окружность Правда, радиус этой окружности зависит от угла ABC = β. Но из последнего соотношения видно, что этот радиус пропорционален стороне AB = c. Что означает, что из условия задачи И НЕЛЬЗЯ определить, чему равен β. Поэтому из этого соотношения следует два вывода 1) условие задачи СКОРЕЕ ВСЕГО не полное, точнее - в задаче есть неопределенный параметр. 2) последнее соотношение фактически и есть решение поставленной задачи, определяющее величину стороны AB = с, и всех остальных сторон, само собой, как функцию неопределенного параметра β. Напомню, что BC = с*√2, а AC = c*√(3 - 2√2*cos(β)). Частный случай, когда AC является диаметром, решается элементарно по тому же методу. В этом случае AEC - прямоугольный треугольник, а ABC - равнобедренный, то есть AC = BC = c√2, а радиус окружности очевидно равен AC/2 = c√2/2 = 5; откуда AB = c = 5√2; BC = AC = 10; из полученной в задаче формулы этот случай получается, если 2√2*cos(β) = 1; что легко проверить. То есть, когда cos(β) = √2/4; и, соответственно, sin(β) = √14/4; Другой напрашивающийся частный случай - если угол ABC - прямой. В этом случае cos(β) = 0; sin(β) = 1; Треугольник получается подобным треугольнику со сторонами (1, √2, √3) при этом меньший катет равен c = 5√6/9; и так далее. Отдельный вопрос - про область определения. Так, например, очевидно, что если cos(β) < 0, то решение есть всегда. То есть для тупых углов ABC решение есть всегда. К счастью, 3/2√2 > 1 и 9/4√2 > 1, поэтому решение существует при любых значениях β между 0 и 180 градусами.
Угол, косинус которого имеет отрицательный знак, - тупой. Он – смежный острому углу с таким же косинусом со знаком "+".
cos(180°-α)= -cosα
Построим острый угол с положительным косинусом 5/13. Смежным ему будет тупой угол с данным в условии косинусом -5/13.
Косинус - отношение в прямоугольном треугольнике катета , прилежащего к данному углу, к гипотенузе.
Для этого построения нам надо найти второй катет прямоугольного треугольника, в котором один катет равен 5, гипотенуза - 13.
Пусть нам надо построить треугольник АВС с прямым углом С.
Известны гипотенуза АВ=13, катет АС=5
По т. Пифагора ВС²=АВ²-АС²
ВС=√(169-25)=12
Построение. На луче СМ отложим отрезок АС=5
Из точки А как из центра чертим полуокружность радиусом 13 см.
Из точки С как из центра чертим полуокружность радиусом 12 см.
Точку их пересечения обозначим В.
Соединим А и В. Косинус угла ВАС=АС:АВ=5/13.
Косинус смежного ∠ВАМ= -5/13. Это искомый угол.
Из точки С по общепринятому методу возводим перпендикуляр. На нем откладываем катет СВ=12 см.
Соединяем В и А. В построенном треугольнике косинус угла А равен 5/13. Смежный ему тупой угол ВАМ - искомый, его косинус - 5/13.