а) Пусть искомый угол <HAP=α.
<BPA - внешний угол треугольника АРС.
<BPA = (1/2)*<A +<С (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).
<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.
<BHA=α+<BPA. Или α+<BPA=90°. Или
α=90°-(1/2)*<A - <С.(1)
<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Тогда из (1):
α=90°-(1/2)*(180-<B-<C) - <С. Или
α=90°-90°+<B/2 +<C/2-<C = <B/2-<C/2.
ответ: искомый угол равен α=|<B-<C|/2, что и требовалось доказать.
Второй вариант:
Пусть искомый угол <HAP=α.
<BPA - внешний угол треугольника АРС.
<BPA = (1/2)*<A +<С (1) (внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним).
<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.
<BРA=α+90°. Тогда из (1):
α=(1/2)*<A +<С - 90°. (2)
<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Тогда из (2):
α=90°-(1/2)*<B-(1/2)*<C) - 90°+<С. Или
α=<С/2 - <В/2 = |<B-<C|/2.
P.S. Рассматривать все комбинации углов треугольника (в том числе и
тупоугольниго) нет необходимости, так как доказательство будет
подобным. Искомый угол равен модулю разности значений углов
В и С, так как отрицательное значение не удовлетворяет условию.
б). Искомый угол - угол СDE = α.
<CBE - внешний угол треугольника CDB.
<CBE=<DCB+α = >
(1/2)*(180 - <B) =(1/2)*<C + α . =>
α = 90° - (1/2)*<B -(1/2)*<C.
α = 90° - (1/2)*(<B+<C) . =>
2α = 180° - (<B+<C) . =>
2α = <A.
α = <A/2. Что и требовалось доказать.
в) CD и ВЕ - биссектрисы.
Искомый угол - угол α.
α = 180° - (1/2)*(В+С) (сумма внутренних углов треугольника
ВОС=180°). =>
2α =360° -(<B+<C) = 180°+180°-(<B+<C).
<A = 180°-(<B+<C).
2α = 180° + <A.
α = 90°+<A/2, что и требовалось доказать.
S=588
Объяснение:
Назовем этот треугольник АВС. Он равнобедренный, так что АВ = ВС.
Формула площади треугольника:
S = ah/2, при h — высота треугольника, а — сторона, на которую эта высота опускается.
В данном случае, нам неизвестна высота. Проведём ее и назовем ВМ.
Как мы знаем, высота в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник АВС = треугольнику МВС. Т.к. это высота, то она образует у основания 2 прямых угла, равных 90°, следовательно, мы получаем два прямоугольных треугольника. Медиана делит сторону, на которую опускается, на две равные части, значит АМ = МС = 42:2 = 21.
Рассмотрим треугольник АВМ. ВМ и АМ - катеты, АВ - гипотенуза. Нам нужен катет ВМ. По теореме Пифагора:
ВМ = √(АВ² - АМ²) = √(35² - 21²) = √(1225 - 441) = √784 = 28 - это у нас долгожданная высота. Теперь с уверенностью вставляем данные в формулу:
S = (42 × 28)/2 = 1176/2 = 588
ответ: б) 45 градусов..