В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²
Объяснение:
Листочка у меня под рукой нет, но думаю из рисунков все будет понятно:
1. Первый рисунок.
АК- биссектриса, она делит угол А пополам, получается угол ВАК равен углу КАС и они равны 20 градусов.
Треугольник АВС:
Угол А равен углу С и они равны 40 градусов, т.к. треугольник равнобедренный
Тогда угол В равен 180-40-40=100 градусов
Треугольник АСК:
Угол КАС равен 20 градусов, как выяснили выше
Угол С равен 40 градусов по условию
Угол СКА равен 180-20-40=120 градусов
Если строить треугольник по транспортиру, то, конечно, углы будут ровнее и сразу будет видно какой где.
2. Второй рисунок.
Решается через уравнение, внутренний угол берем за х, тогда внешний угол 3х:
х+3х=180
4х=180
х=45 - это угол Е
Угол М равен углу Е и равен 45 градусам
Тогда угол Р равен 90 градусов
Треугольник равнобедренный и прямоугольный
3. Рисунок не требуется, т.к. решается уравнением.
За х берем наименьший угол, угол М
Тогда угол К равен 2х, а угол Р 3х
х+2х+3х=180
6х=180
х=30 - это угол М
Тогда угол К равен 60, а угол Р 90 градусов