Для начала, давай определимся с тем, что такое "наибольшее значение функции". Когда мы говорим о "наибольшем значении функции", мы ищем значение функции, при котором она достигает своего максимального значения на заданном интервале.
Теперь, когда у нас есть понимание того, что мы ищем, давай попробуем решить данную задачу. Для этого нам понадобится использовать некоторые математические инструменты, такие как дифференцирование функции.
Шаг 1: Найдем производную функции y=x/(81+x^2)
Поскольку у нас есть дробь, то мы можем применить правило дифференцирования для частного функций. Формула для дифференцирования частного функций выглядит следующим образом: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - g'(x)f(x))/[g(x)]^2.
Применяя эту формулу к нашей функции y=x/(81+x^2), мы получим:
Шаг 2: Найдем стационарные точки функции.
Стационарные точки функции - это точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.
Так как у нас есть выражение для производной функции, мы можем приравнять его к 0 и решить уравнение:
(81 - x^2) / [(81+x^2)^2] = 0
Мы можем проигнорировать знаменатель, поскольку он не может равняться 0. Поэтому у нас остается только числитель равный 0:
81 - x^2 = 0
Решая это уравнение, мы найдем стационарные точки функции. Раскрывая скобки, получим:
81 = x^2
Возведя обе части уравнения в квадратный корень, мы найдем:
±√81 = x
x = ±9
Таким образом, стационарными точками функции являются x = 9 и x = -9.
Шаг 3: Находим наибольшее значение функции.
Теперь, когда мы знаем стационарные точки функции, нам нужно определить, какая из них является точкой максимума на заданном интервале [0;+∞).
Для этого нам нужно проанализировать знак производной функции y' на интервалах до и после стационарных точек.
Поскольку в нашей функции y' = (81 - x^2) / [(81+x^2)^2], знак числителя (81 - x^2) определит знак производной y'.
- 0 - 9 + 0 + 9 +
Мы видим, что знак производной изменяется от "-" до "+" при x = -9, что означает, что функция убывает и затем возрастает. Значит, точка x = -9 является точкой минимума.
- 0 + 9 +
Мы видим, что знак производной также изменяется от "+" до "-" при x = 9, что означает, что функция возрастает и затем убывает. Значит, точка x = 9 является точкой максимума.
Таким образом, наибольшее значение функции y=x/(81+x^2) на луче [0;+∞) достигается при x = 9 и равно
y = 9/[81 + (9)^2]
y = 9/[81 + 81]
y = 9/162
y = 1/18
Ответ:
Наибольшее значение функции y=x/(81+x^2) на луче [0;+∞) равно 1/18 и достигается при x = 9.
Стационарные точки функции - это x = 9 и x = -9.
Теперь, когда у нас есть понимание того, что мы ищем, давай попробуем решить данную задачу. Для этого нам понадобится использовать некоторые математические инструменты, такие как дифференцирование функции.
Шаг 1: Найдем производную функции y=x/(81+x^2)
Поскольку у нас есть дробь, то мы можем применить правило дифференцирования для частного функций. Формула для дифференцирования частного функций выглядит следующим образом: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - g'(x)f(x))/[g(x)]^2.
Применяя эту формулу к нашей функции y=x/(81+x^2), мы получим:
y' = [(1 * (81+x^2) - x * 2x)] / [(81+x^2)^2]
y' = [81 + x^2 - 2x^2] / [(81+x^2)^2]
y' = (81 - x^2) / [(81+x^2)^2]
Шаг 2: Найдем стационарные точки функции.
Стационарные точки функции - это точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.
Так как у нас есть выражение для производной функции, мы можем приравнять его к 0 и решить уравнение:
(81 - x^2) / [(81+x^2)^2] = 0
Мы можем проигнорировать знаменатель, поскольку он не может равняться 0. Поэтому у нас остается только числитель равный 0:
81 - x^2 = 0
Решая это уравнение, мы найдем стационарные точки функции. Раскрывая скобки, получим:
81 = x^2
Возведя обе части уравнения в квадратный корень, мы найдем:
±√81 = x
x = ±9
Таким образом, стационарными точками функции являются x = 9 и x = -9.
Шаг 3: Находим наибольшее значение функции.
Теперь, когда мы знаем стационарные точки функции, нам нужно определить, какая из них является точкой максимума на заданном интервале [0;+∞).
Для этого нам нужно проанализировать знак производной функции y' на интервалах до и после стационарных точек.
Поскольку в нашей функции y' = (81 - x^2) / [(81+x^2)^2], знак числителя (81 - x^2) определит знак производной y'.
- 0 - 9 + 0 + 9 +
Мы видим, что знак производной изменяется от "-" до "+" при x = -9, что означает, что функция убывает и затем возрастает. Значит, точка x = -9 является точкой минимума.
- 0 + 9 +
Мы видим, что знак производной также изменяется от "+" до "-" при x = 9, что означает, что функция возрастает и затем убывает. Значит, точка x = 9 является точкой максимума.
Таким образом, наибольшее значение функции y=x/(81+x^2) на луче [0;+∞) достигается при x = 9 и равно
y = 9/[81 + (9)^2]
y = 9/[81 + 81]
y = 9/162
y = 1/18
Ответ:
Наибольшее значение функции y=x/(81+x^2) на луче [0;+∞) равно 1/18 и достигается при x = 9.
Стационарные точки функции - это x = 9 и x = -9.