Пусть медианы AD и СТ пересекаются в точке O. По свойству медиан треугольника, в этой точке они делятся в отношении 2:1. То есть CO=2*OT, AO=2*OD. Поскольку по условию задачи AD=CT, то и OT=OD, CO=AO. Кроме того в треугольниках △AOT и △COD углы <AOT=<COD как вертикальные. Значит △AOT=△COD по 1му признаку. => <TAO=<DCO (1)
Из равенства CO=AO следует, что △AOC - равнобедр. => <OAC=<OCA (2)
Суммируя выводы (1) и (2) делаем заключение, что и углы <BAC=<BCA как суммы равных углов <TAO+<OAC=<DCO+<OCA
А значит треугольник △ABC - равнобедренный и AB=BC чтд.
Раз уж первую задачу решили правильно, её расписывать не буду. 2) В прямоугольном треугольнике катет равен среднему пропорциональному гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Другими словами, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета. АВ²=АН·АС=10·40=400, АВ=20 - это ответ.
3) Точка, равноудалённая от сторон треугольника является центром вписанной в него окружности. Он, в свою очередь, лежит на пересечении биссектрис треугольника, значит АО - биссектриса угла АВС. ∠АВС=2∠АВО=2·39=78°. В тр-ке АОС ∠ОАС+∠ОСА=(∠ВАС+∠ВСА)/2=(180-∠АВС)/2=(180-78)/2=51°. ∠АОС=180-(∠ОАС+∠ОСА)=180-51=129° - это ответ.
PS. Так как точка О не является центром описанной вокруг треугольника окружности, нельзя говорить о том, что угол АВС вписанный и, тем более, что угол АОС центральный и что он равен двум вписанным.
Объяснение:
Пусть медианы AD и СТ пересекаются в точке O. По свойству медиан треугольника, в этой точке они делятся в отношении 2:1. То есть CO=2*OT, AO=2*OD. Поскольку по условию задачи AD=CT, то и OT=OD, CO=AO. Кроме того в треугольниках △AOT и △COD углы <AOT=<COD как вертикальные. Значит △AOT=△COD по 1му признаку. => <TAO=<DCO (1)
Из равенства CO=AO следует, что △AOC - равнобедр. => <OAC=<OCA (2)
Суммируя выводы (1) и (2) делаем заключение, что и углы <BAC=<BCA как суммы равных углов <TAO+<OAC=<DCO+<OCA
А значит треугольник △ABC - равнобедренный и AB=BC чтд.