Построение сводится к проведению перпендикуляра из точки к прямой.
Из вершины А, как из центра, раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим эту точку К.
∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.
Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой.
Для этого из точек К и С, как из центра, одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А.
Отрезок АМ разделил КС пополам и является искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А.
Объяснение:
Т.к. есть точка пересечения бисс - т.О, то есть и лежащий на ней центр вписанно окружности. Пусть вписанная окр-ть пересекает стороны AB=a=6, BC =b=8, AC=c=10 в точках M,P,Q соответственно. CM,AP,BQ - бисс. Найдем сначала радиус вписанной:
p=P/2= (6+8+10)/2=12
По т. Герона: S = √(12*(12-6)(12-8)(12-10))= 24
S=p*r, r = 24/12 = 2
по св-вам касательных
AM=AQ = x
MB=BP=y
CP=CQ=z
2x+2y+2z = 24
x+y+z=12
z = 12 - (x+y) =12 - AB = 12-6 = 6
y = 12 - AC = 12 -10 =2
x = 12 - BC = 12 -8=4
Есть готовая ф-ла для нахождения бисс, она выводится через теорему cos.
l = √(ab - mn)
AP = √(6*10 - 2*6) = √48 = 4√3
BQ = √(6*8 - 4*6) = √24 = 2√6
CM = √(8*10 - 2*4)=6√2
AO = AP - r = 4√3 - 2 = 2*(2√3 - 1), AO : r = 2*(2√3 - 1) : 2 = (2√3 - 1) : 1
BO = BQ - r = 2√6 - 2 = 2*(√6 - 1), BO : r = 2*(√6 - 1) : 2 = (√6 - 1) : 1
CO = CM - r = 6√2 - 2 = 2*(3√2 - 1), AO : r = 2*(3√2 - 1) : 2 = (3√2 - 1) : 1