1 - 2 уровень (с рисунком, дано, найти, решение, ответ)
1) Развернутый угол разделен в отношении 5 : 13. Найти градусные меры полученных углов. (2б)
2) В треугольнике АВС известны две стороны: АВ = 10 см и ВС = 12 см. Доказать, что при АС = 10 см угол В= углу С. (2б)
3) Середина К хорды АВ соединена с центром О окружности. найти углы треугольника АОК, если угол АОВ=106 градусов. (2б)
3 уровень. (рисунок, дано, найти, решение, ответ)
4) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СD. найти углы треугольника ADC, если угол АВС = 80 градусов. (2б)
5) Докажите, что если через середину хорды проведен диаметр, а через его концы - касательные к окружности, то хорда будет параллельна касательным. (2б)
4 уровень (Рисунок, дано, найти, решение, ответ)
6) В четырехугольнике MNKL вписана окружность. Найдите периметр этого четырехугольника, если известно, что MN = 3 м и KL = 2,5 м. (2б)
катет1 = 5+r
катет2 = 12+r
где r - радиус вписанной окружности
а отрезки катетов, начинающиеся в острых углах, равны соответствующим отрезкам гипотенузы (отрезки касательных, проведенные из 1 точки, равны между собой)
осталось записать теорему Пифагора и найти r
289 = 25+10r+r^2 + 144 +24r+r^2 (приведя подобные и сократив на 2 получим квадратное уравнение, решаемое через дискриминант по обычной формуле)
r^2+17r-60=0
D = 529
r1 = (-17-23)/2 = -20 (не интересно. радиусы отрицательными не бывают)
r2 = (-17+23)/2 = 3
катет1 = 5+3 = 8
катет2 = 12+3 = 15