В Δ OPN
∠O=70°
∠P=90°
∠N=20°
Объяснение:
План решения:
1. доказывем,что ΔOPN - прямоугольный (∠P=90°)
2.нахoдим угол ∠ONK
3. от ∠ONK отнимаем заданный в условии ∠PNK и получам ∠N (в Δ ONP).
4. два угла найдены, находим ∠ O=90°- ∠ N (в Δ ONP).
Решение.
1. Определим, чему равен ∠ OPN. Для чего проведем радиус в точку M.
Рассмотрим Δ MON. Этот треугольник - равнобедренный с основанием [MN], и боковыми сторонами [OM] и [ON] (т.к.l ON l = l OM l, как радиусы окружности).
Итак в равнобедренном Δ MON на основание опущена медиана [OP] (по условию l MP l=l NP l). а у равнобедренного треугольника медиана, опущенная на основание совпадает и с бисектриссой и с высотой (свойства равнобедренных треугольников)! А раз [OP] - это и высота, то ∠ OPN = ∠ OPM = 90 ° (по определению высоты треугольника). Значит ΔONP и ΔKNP - прямоугольные!
2. Теперь рассмотрим прямоугольный Δ KNP. Его углы:
∠ KNP =35° (по условию), ∠ KPN =90°, следовательно
∠ PKN=180°-90°-35°=55°.
3. Теперь рассмотрим Δ KNO. Этот треугольник равнбедренный с боковыми сторонами [OK] = [ON] , как радиусы окружности. В этом равнобедренном треугольнике угол при основании ∠ OKN = ∠ PKN (отрезок [PO]l ∈ [OK] - т.е. это один и тот же угол). Следовательно ∠ ONK = ∠ OKN = ∠ PKN = 55° (углы при основании равнобедренного треугольника).
А ∠ ONK= ∠ KNP + ∠ ONP;
∠ ONP = ∠ ONK - ∠ KNP
∠ ONP = 55° - 35° =20°;
4. И наконец рассмотрим Δ ONP.
В нем угол ∠P =90°. ∠ONP=20°.Следовательно
∠PON = 180° - 90° - 20° = 70°. Все.
1 этап:
Точка, прямая, окружность.
2 этап:
1. На плоскости нужно отметить произвольную точку
2. Через эту точку провести прямую произвольной длины
3. Взять циркуль и провести окружность с центром в точке, которую мы построили в 1 пункте
4. Отметить точки пересечения нашей окружности из 3 пункта и прямой (точки А и B) - это будут крайние точки нашего основания.
5. Не изменяя раствора циркуля провести из точек А и B окружности, точка пересечения этих окружностей будет 3 вершиной равнобедренного треугольника.
6. Соединить 3 полученные точки.
3 этап:
Пусть AB = a.
Отметим на нашем основании точку М = b ⋂ a. По рисунку эта точка совпадает с точкой пересечения окружностей, которые мы провели из крайних точек основания: точек А и B.
АМ = BM (как радиусы равных окружностей), а значит т.М совпадает с точкой пересечения медианы и основания. Отсюда, так как медиана совпадает с биссектрисой треугольник является равнобедренным.
4 этап:
Да, всегда будет иметь решения.
Объяснение: ЗАДАНИЕ 1
По условиям ОА=ОС=радиусу=5. ОВ также радиус=5. Зная, что ВД=1, то ОД=ОВ-ВД=5-1=4. Рассмотрим ∆АОД и
СОД. Они прямоугольные, где ОА и ОС - гипотенуза, а ОД, АД, и СД - катеты и АД=СД, поскольку прямая ОВ проведена из центра окружности. Найдём по теореме Пифагора отрезки АД и СД.
АД=√(ОА²-АД²)=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3.
Итак: АД=СД=3, то тогда АС=3+3=6
ОТВЕТ: АС=6
ЗАДАНИЕ 2
Радиус ОВ, проведённый к точке касания образует с ней прямой угол 90°, поэтому ∆АОВ - прямоугольный, где АВ и ОВ- - катеты а ОА- гипотенуза. Зная, что АО=13, а АВ=12, найдём по теореме Пифагора радиус ОВ:
ОВ=√(АО²-АВ²)=√(13²-12²)=√(169-144)=
=√25=5
ОТВЕТ радиус ОВ=5