Question

Написать уравнение касательной к параболе y
2 = 8x, параллельной прямой 2x + 2y – 13 = 0.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы должны учесть несколько фактов.

Во-первых, зная уравнение прямой, мы можем найти ее наклон (или коэффициент наклона).

Во-вторых, касательная является прямой, которая имеет одинаковый наклон с кривой (в данном случае, параболой).

Итак, для начала найдем наклон прямой 2x + 2y – 13 = 0. Чтобы это сделать, приведем уравнение прямой к виду y = mx + b, где m - это коэффициент наклона.

2x + 2y – 13 = 0
2y = -2x + 13
y = -x + 13/2

Из этого уравнения мы видим, что коэффициент наклона прямой равен -1.

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, мы знаем, что ее наклон также равен -1 (по определению касательной). Используя это знание, мы можем продолжить с решением задачи.

У нас уже есть уравнение параболы y^2 = 8x. Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно найти координаты точки касания (x1, y1). Мы можем найти эту точку, найдя значения x и y, где уравнение прямой и уравнение параболы равны друг другу.

-y + 13/2 = sqrt(8x)
-y = sqrt(8x) - 13/2
y = 13/2 - sqrt(8x)

Теперь у нас есть два уравнения: y = 13/2 - sqrt(8x) и y = mx + b. Найдем их точку пересечения, чтобы найти x1 и y1.

13/2 - sqrt(8x) = -x + 13/2
sqrt(8x) = x
8x = x^2
x^2 - 8x = 0
x(x - 8) = 0

Отсюда, получаем два значения x: x = 0 и x = 8. Подставим их в уравнение y = 13/2 - sqrt(8x), чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 0:
y = 13/2 - sqrt(8*0)
y = 13/2

При x = 8:
y = 13/2 - sqrt(8*8)
y = 13/2 - 8
y = -3/2

Таким образом, у нас есть две точки касания: (0, 13/2) и (8, -3/2).

Используя одну из этих точек и коэффициент наклона, мы можем найти уравнение касательной.

Используем точку (0, 13/2):

y = mx + b
13/2 = -1*0 + b
b = 13/2

Таким образом, у нас есть уравнение касательной:
y = -x + 13/2