Заметим, что если провести из любой вершины высоту, то она будет и биссектрисой и медианой одновременно. Также точка пересечения медиан будет совпадать с точкой пересечения биссектрис и высот (так как в правильном треугольнике медианы биссектрисы и высоты, проведенные из одной вершины совпадают). А медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2 к 1, начиная от вершины. Теперь отрезок медианы от точки пресечения медиан до вершины будет радиусом описанной окружности. А отрезок медианы от точки пересечения медиан до основания (стороны, к которой проведен) будет радиусом вписанной окружности. Значит половина длины радиуса описанной окружности равна длине радиуса вписанной окружности. То есть 8:2=4 см.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Четырёхугольник ABCD - ромб.
∠АВС - острый.
ВЕ и ВР - высоты, проведённые к сторонам ромба AD и CD соответственно.
∠ЕВР = 150°.
ВЕ = 6 см.
Найти:Р(ABCD) = ?
Решение:Рассмотрим четырёхугольник ВЕDP.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
То есть -
∠Е+∠D+∠P+∠В = 360°
∠D = 360°-∠Е-∠Р-∠В
∠D = 360°-90°-90°-150°
∠D = 30°.
Рассмотрим соответственные ∠EAB и ∠D при АВ║CD (параллельны по определению ромба) и секущей ED.
∠EAB = ∠D = 30° (по свойству соответственных углов при параллельных прямых и секущей).
Рассмотрим прямоугольный ΔЕВА.
Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
То есть -
У ромба равны все стороны.
Следовательно -
Р(ABCD) = 4*АВ = 4*12 см = 48 см.
ответ: 48 см.