Из вершины прямого угла С проведена высота CD, равная 12 см. Катет ВС = 20 см. Найдите BD, АВ и cosА.
============================================================
ΔABC - прямоугольный, CD⊥ABВ ΔBCD: по т. ПифагораBD² = BC² - CD² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256BD = 16 смСвойства прямоугольного треугольника:1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.CD² = AD • BD ⇒ AD = CD²/ BD = 12²/16 = 144/16 = 9 смAB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см▪Если в прямоугольном треугольнике высота опущена из вершины прямого угла на гипотенузу, то высота делит этот треугольник на 3 пары подобных прям. треугольников.Значит, ∠CAD = ∠BCD cos∠CAD = cos∠BCD = CD/BC = 12/20 = 6/10 = 0,6ОТВЕТ: BD = 16 см, АВ = 25 см, cosA = 0,6
Для начала вспомним, что такое синус острого угла прямоугольного треугольника.
Синус острого угла прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Из курса седьмого класса мы знаем, что гипотенуза - это самая большая сторона в прямоугольном треугольнике, она всегда больше любого катета.
Из курса математики мы знаем, что если числитель (в числителе стоит длина катета) меньше знаменателя (в знаменателе стоит длина гипотенузы), то дробь меньше единицы.
То есть, та самая дробь (значение синуса острого угла) меньше единицы.
(Кстати, синус острого угла также больше нуля, так как числитель и знаменатель положительного знака. Это связано с тем, что длина сторон не может выражаться отрицательными числами).
ромб ABCD описан около круга;
AB = 13 (см), BD = 10 (см).
Найти:C - ? (см).
Решение:Пусть О - точка пересечения диагоналей этого ромба.
"Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны."
⇒ АВ = ВС = CD = AD = 13 (см).
Так как ромб - параллелограмм, вспомним свойства параллелограмма:
"Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам."
⇒ ОА = ОС, ВО = ОD = 10/2 = 5 (см).
"Диагонали ромба взаимно перпендикулярны".
⇒ △АОВ, △ВОС, △AOD, △COD - прямоугольные.
Найдём АО и ОС, по теореме Пифагора (с = √(а² + b²), где c - гипотенуза, a и b - катеты):
b = √(c² - a²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 (см).
Итак, АО = ОС = 12 см ⇒ АС = 12 ⋅ 2 = 24 (см).
S ABCD = 1/2AC ⋅ BD = 24/2 ⋅ 10 = 120 (см²)
Составим уравнение:
Пусть х - радиус круга R.
S ABCD = BC ⋅ 2R.
120 = 13 ⋅ 2x
120 = 26x
x = 60/13
Итак, R = 60/13 (см)
С = 2πR = π(2 · 60/13) = 120/13π (см)
ответ: 120/13π (см).