Прямые, соединяющие центр вписанной окружности с концами боковой стороны - это биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных основаниях и секущей боковой стороне. Сумма таких углов 180 градусов, сумма половин - 90 градусов, то есть эти прямые перпендикулярны. Поэтому радиус, проведенный в точку касания этой боковой стороны, является высотой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Если меньший отрезок (на который точка касания делит гипотенузу-боковую сторону) принять за х, а больший за 4*х, то высота - среднее геометрическое этих отрезков.
Действительно, высота делит прямоугольный треугольник на два подобных между собой прямоугольных треугольника - и подобных исходному, конечно - по признаку равенства углов, поэтому
4*х/12 = 12/x;
(4*х)*х = 12^2 = 144; x^2 = 36; x = 6
Боковая сторона равна 30, а периметр 120
(сумма боковых сторон равна сумме оснований)
Объяснение:
Если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит треугольник, в который можно вписать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.
полупериметр р=(5+12+13)/2=15 см, радиус вписанной r=√(10*3*2/15)=2 см
высота h/r=√3/3, h=2√3/3 см
апофема ф=h/2=√3/3
площадь =(√3/3)*(5+12+13)/2=5√3 см²