1)
Радиус вписанной окружности правильного многоугольника совпадает с его апофемой (т.е. перпендикуляром, опущенным из центра на любую сторону)
Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников. Его площадь равна площади 6 таких треугольников и S(шестиугольника)=6•S (треуг)
Нам известен радиус вписанной в шестиугольник окружности, т.е. высота правильного треугольника АОВ (см. рисунок). Для нахождения площади правильного треугольника воспользуемся формулой
Тогда 
дм²
––––––––––
2)
По условию 
Примем коэффициент отношения радиусов окружностей равным а. Тогда радиус первой равен 5а, второй –3а
5a-3a=40⇒
a=20 см
r1=100 см=1м
S1=π•1²=π м²
60 см=0,6 м
S2=π•(0,6)²=0,36 м²
–––––––––––
3)
Найдите площадь сегмента круга, радиуса 4 см, если его хорда равна 4√2 см
Пусть центр круга О, хорда - АВ.
АО=ВО ⇒∆ АОВ - равнобедренный
По т.косинусов АВ²=АО²+ВО²- 2АО•ВО•cos∠AOB
32=2•16-2•16•cosAOB⇒
cos AOB=0, ⇒ ∠АОВ=90°.
Площадь искомого сегмента равна разности площадей сектора с углом 90° и прямоугольного ∆ АОВ.
Градусная мера полного круга 360°, значит, площадь сектора с углом 90°=1/4 площади круга
S сектора=16π:4=4π
S ∆ АОВ=4•4:2=4•2
S сегм=4π-4•2=4(π-2)= ≈4,566 см²
4)
Отношения отрезков сторон треугольника АВС, на которые их делят данные точки, одинаковы.
Примем коэффициент отношения отрезков сторон равным а.
Тогда АВ=7а.
Треугольники у вершин подобны треугольнику АВС, т.к. имеют общую вершину и стороны исходного треугольника пропорциональны сторонам треугольников, «отсекаемых» от него у вершин, с коэффициентом подобия 7:2, Поэтому эти отсекаемые треугольники равновелики.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
k=АВ:ВК=7:2 ⇒
S (ABC):S(BKM)=k²= 49/4
245:S(BKM)=49:4⇒
S(Δ BKM)=20
S(ТКМОНР)=245-3•20=185 мм²
Объяснение: ВВ1=АА1=СС1=ДД1=3. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат, поэтому все стороны нижнего и верхнего оснований равны. Диагональ АС делит основание на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, в которых стороны равны между собой и являются катетами а диагональ АС - гипотенузой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы в √2 раз, поэтому стороны основания будут: 52/√2см
а) сторона основ=52/√2см
Теперь найдём площадь основания по формуле: S=a², где а- сторона основания:
г) Sосн=(52/√2)²=2704/2=1352см²
Боковая грань представляет собой прямоугольник.
Теперь найдём площадь боковой грани по формуле: S=a×b, где а и b- стороны прямоугольника:
Sбок.гр=52/√2×3=156/√2см²
Так как таких граней 4, то:
е) Sбок.пов=156/√2×4=624/√2см²
Оснований 2, поэтому площадь двух оснований: S2осн=1352×2=2704см²
Теперь найдём полную площадь призмы:
Sпол=Sбок+Sосн=624√2+2704=
=624/1,4+2704=445,7+2704=
=3149,7см²
ж) Sпол=3149,7см²
Рассмотрим ∆АА1Д. Он прямоугольный. В нём АА1 и ДД1 - катеты а диагональ В1Д - гипотенуза. Найдём А1Д по теореме Пифагора: А1Д²=АА1²+АД²=
=3²+(52/√2)²=9+2704/2=9+1352=1361;
б) А1Д=В1С=√1361см
Площадь диагонального сечения призмы - это прямоугольник А1В1СД. Найдём её по формуле площади прямоугольника:
д) S=СД×А1Д=52/√2×√1361=52√680,5см²
Рассмотрим ∆ВВ1Д. Он прямоугольный, в котором диагональ В1Д является гипотенузой а ВВ1 и ВД- катеты.
ВД- диагональ основания=диагонали АС=52см. Найдём диагональ призмы ВДпо теореме Пифагора: В1Д²=ВВ1²+ВД²=3²+52²=9+2704=2713см
В1Д=√2713см
в) диагональ призмы В1Д=√2713см