Question

В координатной плоскости задан треугольник ABC с поверхностью 70. Концы имеют следующие координаты B (12,19), C (23,20) и A (p, q). Медиана, падающая в направлении BC, имеет угловой коэффициент -5. Найти р+q?

Answer 1

Даны координаты точек B (12,19), C (23,20) и A (p, q).

Площадь треугольника АВС равна 70 кв.ед.

Угловой коэффициент медианы АМ равен -5.

Находим уравнение прямой ВС и длину отрезка ВС.

|ВС| = √((23-12)² + (20-19)²) = √(11² + 1²) = √122.

BC: (x - 12)/11 = (y - 19)/1,   х - 12 = 11у - 209.

Уравнение ВС: х - 11у + 197.

Теперь найдём высоту треугольника АВС:

h = 2S/|AB| = 2*70/√122 = 140/√122.

Точка А лежит на прямой, параллельной ВС и отстоящей выше или ниже на расстоянии h.

Так как точка принадлежит медиане АМ, находим координаты точки М - середины отрезка ВС.

М((12+23)/2); (19+20)/2) = ((35/2); (39/2)).

Уравнение медианы через точку М в виде у = кх + в. Подставим координаты точки М. 39/2 = -5*(35/2) + в,

отсюда в = (39/2) + (175/2) = 214/2 = 107.

Уравнение АМ: у = -5х + 107 или у + 5х - 107 = 0.

Уравнение прямой, удаленной на расстояние h  от исходной имеет вид: Ax + By + C ± h√(A² + B²).

Подставим коэффициенты уравнения ВС (для параллельных прямых они сохраняются).

АЕ = х - 11у + 197 - (140/√122)*√(1² + 11²) = х - 11у + 57.

А1Д = х - 11у + 197 + (140/√122)*√(1² + 11²) = х - 11у + 337.

Координаты точек А и А1 находим как точки пересечения прямых.

х - 11у + 337 = 0 (х-5),   -5х + 55у - 1685 = 0

5х + у - 107 = 0,           5х + у - 107 = 0      

                                           56у = 1792     у = 1792/56 = 32.

                                                             х = 11*32 - 337 = 15.

Точка А1(32; 15). Аналогично для А.

х - 11у + 57 = 0 (х-5),   -5х + 55у - 285 = 0

5х + у - 107 = 0,           5х + у - 107 = 0      

                                           56у = 392     у = 392/56 = 7.

                                                             х = 11*7 - 57 = 20.

Точка А(20; 7).

ответ: 2 значения p+q = 27 и 47.